Chủ đề này có 1 trả lời

[zkobez]

Cho phương trình :
$ log_{3}^{2}x +\sqrt{log_{3}^{2}x+1}-2m-1=0$
a/ Giải pt với m=2
b/ Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm $ [1;3^{\sqrt{3}}] $

[Crystal]

Cho phương trình :
$ log_{3}^{2}x +\sqrt{log_{3}^{2}x+1}-2m-1=0$
a/ Giải pt với m=2
b/ Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm $ [1;3^{\sqrt{3}}] $

Giải:
ĐK: $x > 0$
a) Khi m = 2, phương trình tương đương với $\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 5 = 0\,\,(1)$

Đặt: $t = \sqrt {\log _3^2x + 1} \ge 1$. Khi đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow \sqrt {\log _3^2x + 1} = 2 \Leftrightarrow \log _3^2x = 3 \Leftrightarrow {\log _3}x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = {3^{ \pm \sqrt 3 }}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = {3^{ \pm \sqrt 3 }}$.

b) Đặt: $t = \sqrt {\log _3^2x + 1} $. Với $1 \le x \le {3^{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 0 \le {\log _3}x \le \sqrt 3 \Rightarrow 1 \le t \le 2$.

Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ sau có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}f\left( t \right) = {t^2} + t - 2 = 2m\,\,\,\,(2)\\1 \le t \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$.

Ta có: $f'\left( t \right) = 2t + 1$. Lập bảng biến thiên của f(t). Từ đó, suy ra:

$\mathop {\max }\limits_{1 \le t \le 2} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 4;\,\,\,\mathop {\min }\limits_{1 \le t \le 2} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 0$.

Hệ (2), (3) có nghiệm $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{1 \le t \le 2} f\left( t \right) \le 2m \le \mathop {\max }\limits_{1 \le t \le 2} f\left( t \right) \Leftrightarrow 0 \le 2m \le 4 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2$.

Vậy các giá trị cần tìm của m là $0 \le m \le 2$.