Chủ đề này có 2 trả lời

[E. Galois]

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

[chanhquocnghiem]

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

Khai triển ra hết rồi nhóm các số hạng lại :

$S=\sum_{n=1}^{5}\sum_{k=n}^{n+4}\left ( k.C_{k-1}^{n-1}.C_{9-k}^{5-n} \right )$

$=C_{0}^{0}C_{8}^{4}+2(C_1^0C_7^4+C_1^1C_7^3)+3(C_2^0C_6^4+C_2^1C_6^3+C_2^2C_6^2)+4(C_3^0C_5^4+C_3^1C_5^3+...+C_3^3C_5^1)+5(C_4^0C_4^4+C_4^1C_4^3+...+C_4^4C_4^0)+6(C_5^1C_3^3+C_5^2C_3^2+...+C_5^4C_3^0)+7(C_6^2C_2^2+C_6^3C_2^1+C_6^4C_2^0)+8(C_7^3C_1^1+C_7^4C_1^0)+9C_8^4C_0^0$

Chú ý rằng các tổng trong ngoặc đều có thể viết dưới dạng :

$C_k^0C_{8-k}^4+C_k^1C_{8-k}^3+...+C_k^kC_{8-k}^{4-k}$

Và đó chính là số cách chọn $4$ trong $8$ phần tử khác nhau, tức là các tổng đó đều bằng $C_8^4$

Vậy $S=C_8^4.(1+2+...+9)=C_8^4.C_{10}^2=3150$

[hxthanh]

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

Ngứa ngáy chân tay...

$\quad S=\sum_{n=1}^5\sum_{k=n}^{n+4}k\binom{k-1}{n-1}\binom{9-k}{5-n}=\sum_{k=1}^9\sum_{n=1}^{k}k\binom{k-1}{n-1}\binom{9-k}{5-n}\quad $ (đảo thứ tự lấy tổng)

$\quad\;=\sum_{k=1}^9 k\binom{k-1+9-k}{n-1+5-n}\quad $ (Vandermonde)

$\quad\;=\binom{8}{4}\sum_{k=1}^{9}k$

$\quad\;=\binom{8}{4}\binom{10}{2}$

y chang @chanhquocnghiem