Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$
Tính tổng $S {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} }$
#1
Đã gửi 21-09-2011 - 07:22
- supermember, hxthanh, Didier và 1 người khác yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#2
Đã gửi 17-07-2016 - 22:02
Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$
Khai triển ra hết rồi nhóm các số hạng lại :
$S=\sum_{n=1}^{5}\sum_{k=n}^{n+4}\left ( k.C_{k-1}^{n-1}.C_{9-k}^{5-n} \right )$
$=C_{0}^{0}C_{8}^{4}+2(C_1^0C_7^4+C_1^1C_7^3)+3(C_2^0C_6^4+C_2^1C_6^3+C_2^2C_6^2)+4(C_3^0C_5^4+C_3^1C_5^3+...+C_3^3C_5^1)+5(C_4^0C_4^4+C_4^1C_4^3+...+C_4^4C_4^0)+6(C_5^1C_3^3+C_5^2C_3^2+...+C_5^4C_3^0)+7(C_6^2C_2^2+C_6^3C_2^1+C_6^4C_2^0)+8(C_7^3C_1^1+C_7^4C_1^0)+9C_8^4C_0^0$
Chú ý rằng các tổng trong ngoặc đều có thể viết dưới dạng :
$C_k^0C_{8-k}^4+C_k^1C_{8-k}^3+...+C_k^kC_{8-k}^{4-k}$
Và đó chính là số cách chọn $4$ trong $8$ phần tử khác nhau, tức là các tổng đó đều bằng $C_8^4$
Vậy $S=C_8^4.(1+2+...+9)=C_8^4.C_{10}^2=3150$
- E. Galois, hxthanh, Minhnguyenthe333 và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 20-03-2017 - 00:33
Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$
Ngứa ngáy chân tay...
$\quad S=\sum_{n=1}^5\sum_{k=n}^{n+4}k\binom{k-1}{n-1}\binom{9-k}{5-n}=\sum_{k=1}^9\sum_{n=1}^{k}k\binom{k-1}{n-1}\binom{9-k}{5-n}\quad $ (đảo thứ tự lấy tổng)
$\quad\;=\sum_{k=1}^9 k\binom{k-1+9-k}{n-1+5-n}\quad $ (Vandermonde)
$\quad\;=\binom{8}{4}\sum_{k=1}^{9}k$
$\quad\;=\binom{8}{4}\binom{10}{2}$
y chang @chanhquocnghiem
- chanhquocnghiem yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh