Chủ đề này có 4 trả lời

[doanhoangvu]

Giải kỹ dùm mình nha

\[I = \int\limits_0^4 {\dfrac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + 2}}dx} \]

[E. Galois]

\[
\begin{array}{l}
t = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow dx = \dfrac{{tdt}}{2} \\
I = \int\limits_1^3 {\dfrac{{\left( {t^2 - 3} \right)t}}{{2\left( {t + 2} \right)}}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {t^2 - 2t + 1 - \dfrac{2}{{t + 2}}} \right)dt} \\
= \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{{t^3 }}{3} - t^2 + t - 2\ln \left| {t + 2} \right|} \right)} \right|_1^3 = \dfrac{4}{3} - \ln \dfrac{5}{3} \\
\end{array}
\]

[vantho302]

Bạn E.Galois sai \[t = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow tdt = dx\]
Bài toán trên cũng có thể giải như sau:
\[\int\limits_0^4 {\dfrac{{4x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + 2}}} dx\]
Đặt \[t = \sqrt {2x + 1} + 2 \Leftrightarrow t - 2 = \sqrt {2x + 1} \]
\[ \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2} - 1 = 2x\]
\[ \Leftrightarrow 4x = 2{\left( {t - 2} \right)^2} - 2 \Leftrightarrow 4x - 1 = 2{\left( {t - 2} \right)^2} - 3\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2x + 1} + 2 = t \\
4x - 1 = 2{\left( {t - 2} \right)^2} - 3 \\
\end{array} \right. \\
dt = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} dt = dx \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)dt = dx \\
\end{array}\]
Đổi cận
\[\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 3 \\
x = 4 \Rightarrow t = 5 \\
\end{array}\]\[\begin{array}{l}
\int\limits_3^5 {\dfrac{{2{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 3}}{t}} \left( {t - 2} \right)dt = \int\limits_3^5 {\dfrac{{2{{\left( {t - 2} \right)}^3} - 3\left( {t - 2} \right)}}{t}} dt \\
\int\limits_3^5 {\dfrac{{2\left( {{t^3} - 6{t^2} + 12t - 8} \right) - 3t + 6}}{t}dt} = \int\limits_3^5 {\dfrac{{2{t^3} - 12{t^2} + 21t - 10}}{t}dt} \\
= \int\limits_3^5 {\left( {2{t^2} - 12t + 21 - 10\dfrac{1}{t}} \right)dt} \\
= \left( {2\dfrac{{{t^3}}}{3} - 12\dfrac{{{t^2}}}{2} + 21t - 10\ln t} \right)_3^5 \\
= \left( {\dfrac{{250}}{3} - 150 + 105 - 10\ln 5} \right) - \left( {18 - 54 + 63 - 10\ln 3} \right) \\
= \dfrac{{34}}{3} + 10\ln \dfrac{3}{5} \\
\end{array}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 26-09-2011 - 21:22

[doanhoangvu]

Cảm ơn nha , mình không ngờ lại có cách giải đỉnh như thế này

[E. Galois]

ừ NHỈ, MÌNH GIÀ RỒI MÀ CÒN NGU
\[
\begin{array}{l}
t = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow dx = tdt \\
I = \int\limits_1^3 {\dfrac{{\left( {2t^2 - 3} \right)t}}{{\left( {t + 2} \right)}}dt} = \int\limits_1^3 {\left( {2t^2 - 4t + 5 - \dfrac{10}{{t + 2}}} \right)dt} \\
= \left. {\left( {\dfrac{2{t^3 }}{3} - 2t^2 + 5t - 10\ln \left| {t + 2} \right|} \right)} \right|_1^3 = \dfrac{34}{3} + 10ln \dfrac{5}{3} \\
\end{array}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-09-2011 - 18:33