Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c>0 $\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\ge \dfrac{3}{1+abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
BMinh_93

BMinh_93

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Cho a,b,c>0
$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\ge \dfrac{3}{1+abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-03-2012 - 13:08


#2
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết
Cách 1:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum (\dfrac{1}{a(1+b)}-\dfrac{1}{1+abc}) \geq 0$
Tương đương:
$\sum \dfrac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)} \geq 0$
Luôn đúng!
Cách 2:
Ta có, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\dfrac{1+abc}{a(1+b)}+\dfrac{1+abc}{b(1+c)}+ \dfrac{1+abc}{c(1+a)}\geq3$
$\Leftrightarrow \dfrac{1+abc}{a(1+b)}+1+\dfrac{1+abc}{b(1+c)}+1+ \dfrac{1+abc}{c(1+a)}+1 \geq6 $
$\Leftrightarrow \dfrac{1+a+ab(1+c)}{a(1+b)}+ \dfrac{1+b+bc(1+a)}{b(1+c)}+ \dfrac{1+c+ca(1+b)}{c(1+a)} \geq6$
$ \dfrac {1+a}{a(1+b)}+ \dfrac{1+b}{b(1+c)}+ \dfrac{1+c}{c(1+a)}+ \dfrac{b(1+c)}{(1+b)}+ \dfrac{c(1+a)}{(1+c)}+ \dfrac{a(1+b)}{(1+a)} \geq6$
Áp dụng AM-GM cho 6 số ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 30-09-2011 - 10:39

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c>0
$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\ge \dfrac{3}{1+abc}$

Xét: $k^3+1-k(k+1)=(k-1)^2(k+1)\geqslant 0\Rightarrow k(k+1)\leqslant k^3+1$  (với $k > 0$)

Đặt $(a,b,c)\rightarrow (\frac{kx}{y},\frac{ky}{z},\frac{kz}{x})$ ($k,x,y,z>0$) thì ta cần chứng minh: $\frac{yz}{kzx+k^2xy}+\frac{zx}{kxy+k^2yz}+\frac{xy}{kyz+k^2zx}\geqslant \frac{3}{1+k^3}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\sum_{cyc}\frac{yz}{kzx+k^2xy}=\sum_{cyc}\frac{y^2z^2}{kxyz^2+k^2xy^2z}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{kxyz(x+y+z)+k^2xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{k.\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}+k^2.\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}}=\frac{3}{k(k+1)}\geqslant \frac{3}{1+k^3}(Q.E.D)$   


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh