Xin vietfrog cho anh tham gia nhé
. Anh chỉ xin giải bài 1 và bài 4 (sở thích của anh). Các bài còn lại dành cho các mem khác.
Bài 1: Cho hệ sau:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + \dfrac{{4{x^2}}}{{{{(x + 2)}^2}}} \ge 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x^4} + 8{x^2} + 16mx + 16{m^2} + 32m + 16 = 0\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.$
Tìm $m$ đề hệ có nghiệm.
Giải:$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} + 4{x^2} - 5{\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} - 20x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\,\,\,\,(3)$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 16{m^2} + 2\left( {8x + 16} \right)m + {x^4} + 8{x^2} + 16 = 0$
Xem đây là phương trình bậc hai theo m. Để tồn tại m thì: $\Delta ' = {\left( {8x + 16} \right)^2} - 16\left( {{x^4} + 8{x^2} + 16} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow - 16{x^4} - 64{x^2} + 256x \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\,\,\,(4)$
Từ (3) và (4) $ \Rightarrow x = 2$. Thay $x=2$ vào (2) ta được: $16{m^2} + 64m + 64 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$. Vậy $m=-2$.
Bài 4: Tìm hàm số thỏa mãn đồng thời: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f( - x) = - f(x)\,\,\,\,\,\,(1)}\\{f(x + 1) = f(x) + 1\,\,\,\,(2)}\\{f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{{f(x)}}{{{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}\end{array}} \right.$
Giải:Ta có: $f\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right) = f\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 + f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = 1 + \dfrac{{f(x)}}{{{x^2}}}\,\,\,\forall x \ne 0\,\,\,\,(4)$
$f\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right) = \dfrac{{f\left( {\dfrac{x}{{1 + x}}} \right)}}{{{{\left( {\dfrac{x}{{1 + x}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{f\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + x}}} \right)}}{{{{\left( {\dfrac{x}{{1 + x}}} \right)}^2}}} = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 + f\left( { - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \right)$
$ = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 + \left( { - f\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \right)} \right) = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 - \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)$
$ = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)^2}\left( {1 - \dfrac{{1 + f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)\,\,\,\forall x \ne 0,\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,(5)$
$(4) + (5) \Rightarrow f\left( x \right) = x\,\,\forall x \ne 0,\,\,x \ne 1\,$
Với $x = 0:\,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0$ thỏa mãn $f(x)=x$
Với $x = 1:\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = - f\left( 1 \right)$. Cho $x = 0:\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = - 1$ thỏa mãn $f(x)=x$
Vậy $f\left( x \right) = x\,\,\forall x \in R$. Thử lại thấy đúng.