Chủ đề này có 1 trả lời

[wonderboy]

Cho f(x)=$e^xsinx$. Chứng minh bằng quy nạp đạo hàm bậc n của f(x) bằng $(\sqrt{2})^ne^xsin(x+n\prod/4)$

[hungchu]

Cho f(x)=$e^xsinx$. Chứng minh bằng quy nạp đạo hàm bậc n của f(x) bằng $(\sqrt{2})^ne^xsin(x+n\prod/4)$

bài này dễ mà
Ta tính $f'(x) = \sqrt{2}e^xsin(x+\dfrac{\pi}{4})$ ứng với n = 1
Giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với n = k tức là
$f^{(k)}(x) = \sqrt{2}^ke^xsin(x+\dfrac{k\pi}{4})$
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1
Tức là
$f^{(k+1)}(x) = (\sqrt{2})^{k+1}e^xsin(x+\dfrac{(k+1)\pi}{4})$
Thật vậy ta có:
$f^{(k+1)}(x) = (f^{(k)}(x))' = \sqrt{2}^ke^xsin(x+\dfrac{k\pi}{4}) + \sqrt{2}^ke^xcos(x+\dfrac{k\pi}{4})$
$= \sqrt{2}^ke^x[sin(x+\dfrac{k\pi}{4}) + cos(x+\dfrac{k\pi}{4})]$
$= (\sqrt{2})^{k+1}e^xsin(x+\dfrac{k\pi}{4} +\dfrac{\pi}{4})
= (\sqrt{2})^{k+1}e^xsin(x+\dfrac{(k+1)\pi}{4})$
đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungchu: 04-10-2011 - 23:39