Bài 1. Cho $ p>1$ số thực dương $a_i$. Chứng minh rằng các dãy số $(s_n),(x_n)$ cho bởi
$s_n=\dfrac{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_p^n}{p} và x_n=\sqrt[n]{s_n}$ tăng.
Bài 2. Cho dãy bị chặn $(a_n) $thỏa mãn điều kiện $a_{n+1}\geq a_n-\dfrac{1}{2^n}\,\,\forall n\geq 1$. Chứng minh rằng dãy này hội tụ.
Bài 3. Chứng minh hai dãy $(a_n),(b_n) $xác định bởi
$ a_n=-2\sqrt{n}+\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}} và b_n=-2\sqrt{n+1}+\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}}$ là hội tụ.
Bài 4. Cho dãy $(a_n)$ thỏa mãn $ 0<a_n<1\,\,\forall n\geq 1$ và
$a_n(1-a_{n+1})>\dfrac{1}{4}\,\,\forall n\geq 1$.
Chứng minh rằng dãy này hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Bài 5. Cho dãy $(a_n)$ xác định bởi $a_0=0,a_1=\dfrac{1}{2}$ và
$a_{n+1}=\dfrac{1}{3}(1+a_n+a_{n-1}^3)\,\,\forall n\geq 1$.
Chứng minh rằng dãy này hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Bài 6. Chứng minh rằng hai dãy $(a_n),(b_n)$ hội tụ.
Trong đó $a_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i^2},b_n=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{i^i}$.
Bài 7. Chứng minh rằng dãy (a_n) xác định bởi
$a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\dfrac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{(2n-1)2n}}$
là dãy số hội tụ.
Bài 8. Tìm giới hạn của dãy (a_n) trong mỗi trường hợp
$1/. a_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}$;
$2/. a_1=9,a_2=6,a_{n+2}=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}$.
Bài 9. Chứng minh rằng hai dãy (a_n),(b_n) sau có cùng giới hạn
$1/. 0<b_1<a_1,a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$;
$2/. 0<b_1<a_1,a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+b_n^2}{a_n+b_n},b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$;
$3/. 0<b_1<a_1,a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}$.
Bài 10. Chứng minh rằng dãy (s_n) xác định bởi
$ s_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\left(\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\cdots+\dfrac{2^n}{n}\right)$
Bài 11. Cho dãy bị chặn (a_n) thỏa mãn
$ a_{n+2}\leq\dfrac{1}{3}a_{n+1}+\dfrac{2}{3}a_n\,\,\forall n\geq 1$.
Chứng minh rằng dãy số này hội tụ.
Bài 12. Cho hai dãy $ (a_n) và (b_n)$ xác định bởi
$a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n,b_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\,\,\,\forall n\geq 1$.
Chứng minh rằng $(a_n) $tăng còn $(b_n)$ giảm. Từ đó suy ra
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\,\,\,\forall n\geq 1$.
Bài 13. Cho dãy$ (a_n)$ xác định bởi
$ a_n=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\,\,\forall n\geq 1$.
Chứng minh rằng dãy số này tăng kể từ lúc nào đó.
Bài 14. Chứng minh hai dãy (a_n) và (b_n) xác định bởi
$ a_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln (n+1)\,\,\,\forall n\geq 1$
Và $ b_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n\,\,\,\forall n\geq 1$
hội tụ và có cùng giới hạn.
Bài 15. (VMO 2011) Cho dãy số thực $ (a_n) $xác định bởi $a_1=1$ và
$ a_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2}\cdot\sum_{i=1}^{n-1}a_i\,\,\forall n\geq 2$.
Với mỗi số nguyên dương n, đặt $ y_n=x_{n+1}-x_n$. Chứng minh rằng dãy số $ (y_n)$ có giới hạn hữu hạn khi$ n\to +\infty$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 09-10-2011 - 13:58