Chủ đề này có 62 trả lời

[vietfrog]

Như vậy thì đội beta và alpha bị mất 1 trận đấu không tính chỉ số phụ đó anh vietfrog

Hì. Anh thấy không sao mà.
Nhưng thôi. Tùy mọi người quyết định. Mọi người cứ thi đấu nhiệt tình, vui vẻ là được rồi

[PSW]

Mình thấy ; thay vì bàn tán những cái phụ ở ngoài th2i 2 đội nên rà soát lại lời giải của mình - như thế có ích hơn

[E. Galois]

PSW quên mất là mỗi trận đấu chỉ kéo dài có 7 ngày. Do đó, không cần chờ đến hết ngày 20 đâu mà chỉ cần sau 0h00 ngày 16 là mọi người có thể bình luận rồi.
PSW cũng phải phân định xong thắng thua trước ngày 18

[PSW]

Sao 2 đội chưa thấy có động thái phê bình bài làm đối phương nhỉ ??? Khẩn trương lên nhé

[E. Galois]

Gọi là bình luận thì mình không giám. Mình xin trình bày lời giải bài toán số của đội ALPHA

Câu 5:
Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tìm x để thể tích tứ diện đạt GTLN. Tìm giá trị đó.

Giải:


Vì các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều nên hình chiếu H của A lên mp (BCD) nằm trên đường trung trực của BC.
Ta có:
$$AH=\dfrac{2S_{ABE}}{BE}$$
Áp dụng công thức Hêron cho tam giác ABE
$$S_{ABE}=\sqrt{(\dfrac{x+\sqrt{3}}{2})(\dfrac{x-\sqrt{3}}{2})\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{x^2(3-x^2)}$$
Vậy:
$$AH=\sqrt{\dfrac{x^2(3-x^2)}{3}}$$; $$V_{ABCD}=\dfrac{1}{12}\sqrt{x^2(3-x^2)}$$
Áp dụng BDT AM-GM cho hai số x và $\sqrt{3-x^2}$ ta có:
$$V_{ABCD}\leq \dfrac{1}{12}\dfrac{x^2+(3-x^2)}{2}=\dfrac{1}{8}$$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
Vậy:
$$max V_{ABCD}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$

[Crystal]

Theo mình nghĩ thì hai đội nên post lời giải các bài của đội mình lên để đội bạn tham khảo rồi đối chiếu. Như thế sẽ khách quan hơn. Mọi người có đồng ý không?

[Cao Xuân Huy]

P/s:@vietfrog:Mình tính ra $S_{MNP}=\dfrac{3}{20}S$ ?

Cái này có bị trừ điểm không thế trọng tài

[vietfrog]

Ec Ec. Trừ là trừ thế nào em. Đáp số cuối cùng là đáp số trong lời giải của anh.
Đó chỉ là câụ Phúc trao đổi vậy thôi. .
Mọi người đừng tính nhé.
@xusinst: Ý anh là post thành file văn bản hay post trực tiếp lên đây?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 17-10-2011 - 22:07

[Crystal]

@xusinst: Ý anh là post thành file văn bản hay post trực tiếp lên đây?

Ý anh là post trực tiếp lên đây luôn. Em thấy sao?

[PSW]

Do vài ngày( chừng 3-4 ngày ) tới PSW có việc bận nên xin lỗi với mọi người về việc kết quả thắng thua trận Alpha - Beta sẽ có hơi muộn ; thành thật xin lỗi mọi người . Nói chung thì việc chấm bài cũng chỉ có 2 bài của cậu Khánh là khó kiểm tra thôi ( vì cậu này trình bày hơi rối rắm)

rất mong các thành viên Alpha giúp PSW trong việc phê bình 2 bài giải của Khánh nhé

[khanh3570883]

Đây là lời giải của h.vuong_pdl cho bài 5. Bài làm đã được gửi vào file pdf ở trên nhưng mình đưa ra đây cho mọi người dễ quan sát.

@to dark_templar: Toán thủ này tập trung hơi muộn đó nha. Phê bình, trừ tiền thưởng

Thông báo, chỗ này h.vuong_pdl đã nhầm:

$\begin{array}{l}
2\sin \left( {\pi \left( {{y^2} + 2x} \right)} \right)c{\rm{os}}\left( {\pi \left( {{y^2} - 3} \right)} \right) = \sqrt {{x^2} - 6x + 13} c{\rm{os}}\left( {\pi \left( {{y^2} + 2x + \dfrac{1}{2}} \right)} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ {\sin \left( {\pi \left( {{y^2} + 2x} \right)} \right)} \right]\left[ {2c{\rm{os}}\left( {\pi \left( {{y^2} - 3} \right)} \right) - \sqrt {{x^2} - 6x + 13} } \right] = 0
\end{array}$

Đáng lẽ phải là:
$\left[ {\sin \left( {\pi \left( {{y^2} + 2x} \right)} \right)} \right]\left[ {2c{\rm{os}}\left( {\pi \left( {{y^2} - 3} \right)} \right) + \sqrt {{x^2} - 6x + 13} } \right] = 0$

Từ đó dẫn ra phía dưới cũng sẽ khác kết quả.

[Cao Xuân Huy]

Đề là thế này: Cho tam giác ABC diện tích S. Trên AB,BC,CA lần lượt lấy C',A',B' tương ứng sao cho. AC'=BC'; $\dfrac{{BA'}}{{A'C}} = \dfrac{1}{2};\dfrac{{CB'}}{{B'A}} = \dfrac{1}{3}$. AA' cắt BB' tại M; BB' cắt CC' tại N; CC' cắt AA' tại P. Tính diện tích tam giác MNP theo S.



Lời giải: (em chỉ tóm tắt thôi).



Đặt $a = S_2 + x$. C' là trung điểm của AB nên $S_{NC'B} = S_{NC'A} = a$.



Ta có:



$\left\{ \begin{array}{l} S_{ABB'} = S_{ANB} + S_{ANB'} \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}S = 2a + 3S_5 \\ S_{ACC'} = S_{ANC'} + S_{ANC} \Leftrightarrow \dfrac{S}{2} = a + 4S_5 \\ \end{array} \right.$ (vì AB' gấp 3 lần B'C theo giả thiết).



Giải hệ phương trình ta được:



$\left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{3}{{10}}S \Leftrightarrow S_2 = \dfrac{3}{{10}}S - x \\ S_5 = \dfrac{1}{{20}}S \\ \end{array} \right.$



Tương tự ta cũng có:



$\left\{ \begin{array}{l} S_4 = \dfrac{4}{{15}}S - x \\ S_1 = \dfrac{1}{{10}}S \\ \end{array} \right.$



Và:

$\left\{ \begin{array}{l} S_6 = \dfrac{9}{{205}}S - x \\ S_3 = \dfrac{1}{{30}}S \\ \end{array} \right.$



Vậy ta được:



$S_{BB'C} = \dfrac{S}{4} \Leftrightarrow S_3 + S_4 + S_5 = \dfrac{S}{4}$



$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{30}}S + \dfrac{4}{{15}}S - x + \dfrac{1}{{20}}S = \dfrac{1}{4}S \Rightarrow x = \dfrac{1}{{10}}S$

Đây là cách giải bài 2. Mọi người tham khảo

[thangthan]

Bài 6 của đội alpha chỉ cần giải đơn giản như sau:
Để ý là $\dfrac{a_k^3}{b_k}\leq \dfrac{21}{10}a_k^2-\dfrac{2}{5}b_k^2$ (chú ý $\dfrac{a_k}{b_k}$ thuộc [1/2,2]

[PSW]

Quả nhiên tuổi trẻ tài cao ; nhưng thangthan có thể nói thêm về cách dự đoán cái bất đẳng thức đó không ?

Ngoài ra thì bài Toán bày đã có trong quyển sách Problem from the book ; viết bởi Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu ; do nó nằm trong phần bài tập tự giải nên PSW đã cho phép đưa vào đề

[Crystal]

Đáp án bài 6 của BETA.

Ta có: $$\left\{ \begin{array}{l}
{u_n} = \dfrac{{{u_{n - 1}}}}{{2011}} + {\left( { - 1} \right)^n}\\
{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{2011}} + {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}
\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} + {u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_{n - 1}}}}{{2011}} + \dfrac{{{u_n}}}{{2011}}\,,\,\,\,\,\,\,\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} = 0} \right)$$

Từ đó suy ra: $${u_{n + 1}} + \dfrac{{2010}}{{2011}}{u_n} - \dfrac{1}{{2011}}{u_{n - 1}} = 0$$

Phương trình đặc trưng: ${x^2} + \dfrac{{2010}}{{2011}}x - \dfrac{1}{{2011}} = 0$, có 2 nghiệm ${x_1} = - 1,\,\,{x_2} = \dfrac{1}{{2011}}$.

CTTQ của dãy: $${u_n} = {c_1}{\left( { - 1} \right)^n} + {c_2}{\left( {\dfrac{1}{{2011}}} \right)^n}$$

Từ $$\left\{ \begin{array}{l}
{u_0} = 0\\
{u_1} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{c_1} = \dfrac{{2011}}{{2012}}\\
{c_2} = - \dfrac{{2011}}{{2012}}
\end{array} \right.$$

Khi đó: $$u_n^2 = c_1^2 + 2{c_1}{c_2}{\left( { - \dfrac{1}{{2011}}} \right)^n} + c_2^2{\left( {\dfrac{1}{{2011}}} \right)^{2n}}$$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } u_n^2 = c_1^2 = {\left( {\dfrac{{2011}}{{2012}}} \right)^2}$.

[thangthan]

Quả nhiên tuổi trẻ tài cao ; nhưng thangthan có thể nói thêm về cách dự đoán cái bất đẳng thức đó không ?

Ngoài ra thì bài Toán bày đã có trong quyển sách Problem from the book ; viết bởi Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu ; do nó nằm trong phần bài tập tự giải nên PSW đã cho phép đưa vào đề

Từ giả thiết mình thấy $\sum a_i^2=\sum b_i^2$ và hơn nữa VP của bất đẳng thức cần cm là $\sum a_i^2$ nên ý tưởng của ta là tìm các số x,y sao cho bđt sau xảy ra
$$\dfrac{a_k^3}{b_k}\leq xa_k^2+yb_k^2$$ (1).Mặt khác từ gt suy ra $\dfrac{b_k}{2}\leq a_k\leq 2b_k$ nên ta thay $a_k=2b_k$ và $2a_k=b_k$ vào (1) thì tìm được $x=\dfrac{21}{10}$ và $y=\dfrac{-2}{5}$.Mà khi thay x,y như thế vào (1) thì dễ thấy nó đúng.
P/s:Cho mình hỏi bạn PSW tên gì thế?Bạn mấy tuổi rồi,để mình xưng hô cho dễ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangthan: 18-10-2011 - 19:52

[PSW]

Đã có điểm của gần hết các bài Toán thi ; 2 đội xem qua nhé

Còn 2 bài chưa chấm ngay được :


Bài Tổ hợp THPT của Beta

Bài BĐT OLP của Alpha

PSW muốn nhờ Dảkk Templar và thành viên Beta kiểm tra ; bình luận lại 2 lời ggai3i này ; vì nó rối rắm quá nên hiện tại khó chấm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 20-10-2011 - 23:15

[hxthanh]

Ban tổ chức nên niêm phong topic này lại, vì trận đấu đã kết thúc rồi!
Mọi ý kiến tranh luận nên đặt vào topic mới có cùng tên chẳng hạn như KẾT QUẢ TRẬN ĐẤU THỨ 1 ALPHA - BETA

[E. Galois]

Tỉ số tạm thời là:

ALPHA 32 - 28 BETA

Căng thẳng quá

[dark templar]

Đáp án bài 6 của đội ALPHA:
Ta nhận thấy rằng:$\dfrac{a_{i}}{b_{i}} \in \left[\dfrac{1}{2};2 \right](i=\overline{1;n})$,từ đó ta dễ dàng suy ra được:
$$\dfrac{5}{2}\dfrac{a_{i}}{b_{i}} \ge 1+\dfrac{a_{i}^2}{b_{i}^2}(1)$$
Hay:
$$\dfrac{5}{2}a_{i}b_{i} \ge a_{i}^2+b_{i}^2$$
Do đó:
$$\dfrac{5}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} \ge 2\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2(2)$$
Và ta lại có thể viết lại BĐT (1) dưới dạng sau:
$$\dfrac{5}{2}a_{i}^2 \ge \dfrac{a_{i}^3}{b_{i}}+a_{i}b_{i}$$
Do đó:
$$\dfrac{5}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2 \ge \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}^3}{b_{i}}+\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}(3)$$
Từ (2) và (3),ta có BĐT cần phải chứng minh.Xong.
P/s:Xin lỗi ban Trọng tài vì em không để ý là có phải post đáp án lên hay không mới post trễ thế này,Mong ban Trọng tài thông cảm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-10-2011 - 08:10