Cn2+ 2Cn3+...+ (n-1)Cnn > (n-2).2n-1
Cam on cac ban nhieu nhieu !
#2
Đã gửi 11-10-2011 - 13:41
Didier
-
- Thành viên
-
- 403 Bài viết
đẹp zai có một ko hai
$ (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{c}C_{n}^{k}x^{k}=1+\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}x^{k}$
lấy đạo hàm 2 vế ta có
$ n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}kx^{k-1}=C_{n}^{1}+\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}kx^{k-1}$
$\Rightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}kx^{k-1}=n(1+x)^{n-1}-C_{n}^{1}=n(1+x)^{n-1}-n$
chọn $ x=1$ ta có$ \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}k=n2^{n-1}-n$
$ \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)+\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}=n2^{n-1}-n$
$ \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)-1-n+\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}=n2^{n-1}-n$
$ \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)-1-n+2^{n}=n2^{n-1}-n$
$ \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)=n2^{n-1}+1-2^{n}> 2^{n-1}(n-2)$
ở trên ta sử dụng $ \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}=2^{n}$
chứng minh rất đơn giản
$ (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}$
chọn $ x=1 $ta có $ 2^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}$
lấy đạo hàm 2 vế ta có
$ n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}kx^{k-1}=C_{n}^{1}+\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}kx^{k-1}$
$\Rightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}kx^{k-1}=n(1+x)^{n-1}-C_{n}^{1}=n(1+x)^{n-1}-n$
chọn $ x=1$ ta có$ \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}k=n2^{n-1}-n$
$ \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)+\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}=n2^{n-1}-n$
$ \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)-1-n+\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}=n2^{n-1}-n$
$ \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)-1-n+2^{n}=n2^{n-1}-n$
$ \Leftrightarrow \sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(k-1)=n2^{n-1}+1-2^{n}> 2^{n-1}(n-2)$
ở trên ta sử dụng $ \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}=2^{n}$
chứng minh rất đơn giản
$ (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}$
chọn $ x=1 $ta có $ 2^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 11-10-2011 - 17:37
- c6_viyen yêu thích
#3
Đã gửi 11-10-2011 - 22:17
c6_viyen
-
- Thành viên
-
- 5 Bài viết
Lính mới
cam on ban!
__________________Crick_________________________
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
