Chủ đề này có 5 trả lời

[minhson95]

CMR với mọi $a, b, c >0 ; abc=1$ ta có:

$ \dfrac{a}{2a^3 + 1} + \dfrac{b}{2b^3 + 1} + \dfrac{c}{2c^3 + 1} \leq 1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:44
title fixed

[Crystal]

CMR với mọi a, b, c >0 ; abc=1 ta có:

$ \dfrac{a}{2a^3 + 1} + \dfrac{b}{2b^3 + 1} + \dfrac{c}{2c^3 + 1} \leq 1 $

Ta có: $\dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} = \dfrac{a}{{{a^3} + {a^3} + 1}} \le \dfrac{a}{{3\sqrt[3]{{{a^3}.{a^3}.1}}}} = \dfrac{1}{{3a}}$. Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = 1$.

Tương tự, có: $\dfrac{b}{{2{b^3} + 1}} \le \dfrac{1}{{3b}}\,\,\,\left( { = \Leftrightarrow b = 1} \right);\,\,\,\,\dfrac{c}{{2{c^3} + 1}} \le \dfrac{1}{{3c}}\,\,\,\left( { = \Leftrightarrow c = 1} \right)$

Do đó: $VT \le \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)$. Ta chứng minh: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \le 3$ ....??????

[dark templar]

CMR với mọi a, b, c >0 ; abc=1 ta có:

$ \dfrac{a}{2a^3 + 1} + \dfrac{b}{2b^3 + 1} + \dfrac{c}{2c^3 + 1} \leq 1 $

Ta có: $\dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} = \dfrac{a}{{{a^3} + {a^3} + 1}} \le \dfrac{a}{{3\sqrt[3]{{{a^3}.{a^3}.1}}}} = \dfrac{1}{{3a}}$. Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = 1$.

Tương tự, có: $\dfrac{b}{{2{b^3} + 1}} \le \dfrac{1}{{3b}}\,\,\,\left( { = \Leftrightarrow b = 1} \right);\,\,\,\,\dfrac{c}{{2{c^3} + 1}} \le \dfrac{1}{{3c}}\,\,\,\left( { = \Leftrightarrow c = 1} \right)$

Do đó: $VT \le \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)$. Ta chứng minh: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \le 3$ ....??????

Anh làm ngược dấu rồi ạ Đơn giản là BĐT anh dùng không đủ mạnh để giải quyết.

CMR với mọi a, b, c >0 ; abc=1 ta có:

$ \dfrac{a}{2a^3 + 1} + \dfrac{b}{2b^3 + 1} + \dfrac{c}{2c^3 + 1} \leq 1 $

Bài này mình chỉ nghĩ ra được là quy đồng và xài $p,q,r$ thôi. Nếu bạn nào có cách giải C-S thì post lên nhé

[vietfrog]

Thử khảo sát hàm: $f(a) = \dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} + \dfrac{1}{3}\ln a$ xem sao?
Có cực đại tại $x=1$. Nhưng không chắc là GTLN.

[minhson95]

Thử khảo sát hàm: $f(a) = \dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} + \dfrac{1}{3}\ln a$ xem sao?
Có cực đại tại $x=1$. Nhưng không chắc là GTLN.

nói chung là giải thế nào hả bạn
giúp mình với

[ohmymath]

À bài này của anh Cẩn.
Đây là 1 hệ quả của bài toán sau:
Nếu x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 thì:
$$ \sum \dfrac{1}{x^2+x+1} \geq 1 $$ (Bá Cẩn; Vasile)

Thêm 1 gợi ý:
$$\dfrac{2a}{2a^3+1}-\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1} \leq 0 $$


Và 1 gợi ý cuối cùng:


$$1-\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1}= \dfrac{1}{a^4+a^2+1}$$

P/S: mod sửa giùm em với; sao tự dưng bị lỗi thế này, Ơ mà em cũng có thể tự like bài em là sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ohmymath: 30-10-2011 - 11:23