Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$ với $a \leq b$ là nghiệm của phương trình $\frac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hangochoanthien

hangochoanthien

    * ĐÔNG TÀ*

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Đào Hoa
  • Sở thích:thích học toán ,lí .hóa và thích chơi cho Barcelona.........

Đã gửi 14-10-2011 - 23:14

Cho m là số nguyên dương .Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$ như sau:  $a_0=1;a_1=m;a_{m+1}=m^2a_n-a_{n-1}$ với $n=1,2...$. Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$ với $a \leq b$ là nghiệm của phương trình $\frac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$ khi và chỉ khi $(a,b)=(a_n,a_{n+1})$ với n là một số tự nhiên nào đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-11-2014 - 13:15


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-12-2014 - 17:00

Cho m là số nguyên dương .Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$ như sau:  $a_0=1;a_1=m;a_{m+1}=m^2a_n-a_{n-1}$ với $n=1,2...$. Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$ với $a \leq b$ là nghiệm của phương trình $\frac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$ khi và chỉ khi $(a,b)=(a_n,a_{n+1})$ với n là một số tự nhiên nào đó.

Đề bài có sai sót, xin sửa lại như sau :

"....Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$ như sau : $a_0=0;a_1=m;a_{n+1}=m^2a_n-a_{n-1}$ với $n=1,2,...$.Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(p,q)$ với $p\leqslant q$ là nghiệm của phương trình $\frac{p^2+q^2}{pq+1}=m^2$ khi và chỉ khi $(p,q)=(a_n,a_{n+1})$ với n là một số tự nhiên nào đó."

(Lưu ý $a_0$ bằng $0$ chứ không phải bằng $1$, và thay $(a,b)$ bằng $(p,q)$ cho tiện việc ký hiệu, không gây hiểu nhầm)

 

GIẢI :

Xét dãy số $(a_{n})$ đã cho và phương trình $\frac{p^2+q^2}{pq+1}=m^2$ (1)

Ta có $a_{0}=0$ ; $a_{1}=m$ ; $a_{2}=m^2a_{1}-a_{0}=m^3$ ; ...

Từ (1) $\Rightarrow p^2+q^2=m^2(pq+1)\Rightarrow q=\frac{m^2p+\sqrt{m^4p^2+4(m^2-p^2)}}{2}$ (2)

 

A- Chứng minh nếu $(p,q)$ là nghiệm của (1) thì ta có $(p,q)=(a_{n},a_{n+1})$ (với n là số tự nhiên nào đó)

  Từ (2) suy ra $p$ và $q$ không bao giờ biến thiên ngược chiều, tức là nếu các cặp số tự nhiên $(p_{i},q_{i})$ và $(p_{j},q_{j})$ ($p_{i}\leqslant q_{i};p_{j}\leqslant q_{j}$) cùng là nghiệm của (1) và $p_{i}< p_{j}$ thì ta có $q_{i}\leqslant q_{j}$

Vậy có thể sắp xếp các nghiệm của (1) theo thứ tự tăng dần như sau : $(p_{0},q_{0}),(p_{1},q_{1}),(p_{2},q_{2})...$ ($p_{0}< p_{1}< p_{2}<...$)

Ta hãy tìm 2 nghiệm nhỏ nhất của (1).

+ Nếu $p=0\Rightarrow q=m$ $\Rightarrow (p_{0},q_{0})=(0,m)$

+ Nếu $p=m\Rightarrow q=m^3$

+ Nếu $1\leqslant p \leqslant m-1$ : Từ (2) ta thấy :

$m^4p^2< m^4p^2+4(m^2-p^2)< m^4p^2+4m^2p+4\Rightarrow m^2p< \sqrt{m^4p^2+4(m^2-p^2)}< m^2p+2$

Mặt khác $m^4p^2+4(m^2-p^2)\neq \left ( m^2p+1 \right )^2$ (do khác tính chẵn lẻ)

Do đó $\sqrt{m^4p^2+4(m^2-p^2)}$ không nguyên $\Rightarrow q\notin \mathbb{N}$ nên TH này không xảy ra.

$\Rightarrow (p_{1},q_{1})=(m,m^3)$

Bây giờ giả sử (1) có nghiệm $(p_{k},q_{k})$ ($p_{k}\leqslant q_{k}$)

Đặt $p_{k+1}=q_{k}$ ; $p_{k-1}=m^2p_{k}-p_{k+1}$ 

$\frac{p_{k-1}}{p_{k}}=\frac{m^2p_{k}-p_{k+1}}{p_{k}}=\frac{p_{k}^{2}-m^2}{p_{k}.p_{k+1}}< 1\Rightarrow p_{k-1}< p_{k}$

(1) $\Rightarrow p_{k}^{2}+p_{k+1}^{2}=m^2(p_{k}.p_{k+1}+1)$

$\Rightarrow m^4p_{k}^{2}-2m^2p_{k}p_{k+1}+p_{k+1}^{2}+p_{k}^{2}=m^4p_{k}^{2}-m^2p_{k}p_{k+1}+m^2$

$\Rightarrow p_{k-1}^{2}+p_{k}^{2}=m^2\left [ p_{k}\left ( m^2p_{k}-p_{k+1} \right )+1 \right ]=m^2(p_{k-1}.p_{k}+1)$ 

$\Rightarrow (p_{k-1},p_{k})$ cũng là nghiệm của (1)

Lại đặt $p_{k-2}=m^2p_{k-1}-p_{k}$.Chứng minh tương tự ta có $(p_{k-2},p_{k-1})$ cũng là nghiệm của (1)

Lại đặt $p_{k-3}=m^2p_{k-2}-p_{k-1}$....Cứ tiếp tục như thế, các số $p_{k},p_{k-1},p_{k-2},...$ cứ giảm dần.

Cuối cùng ta có $(p_{0},p_{1})$ là nghiệm của (1) (trong đó $p_{0}< m$).Xét 2 TH :

+ Nếu $p_{0}\neq 0$.Điều này vô lý vì như trên đã chứng minh TH $1\leqslant p\leqslant m-1$ không thể xảy ra.

+ Nếu $p_{0}=0$ : Khi đó $p_{1}$ phải bằng $m\Rightarrow p_{2}=m^3,...$Dựa vào cách xây dựng các số $p_{k-1},p_{k-2},...,p_{0}$ ta có : 

  $p_{0}\equiv a_{0};p_{1}\equiv a_{1};...;p_{k}\equiv a_{k};q_{k}\equiv p_{k+1}\equiv a_{k+1}$ (đpcm)

 

B- Chứng minh 2 số hạng liên tiếp (đều là số tự nhiên) bất kỳ của $(a_{n})$ là $(a_{n},a_{n+1})$ là nghiệm của phương trình (1) 

+ Với $n=0$ : Rõ ràng $(a_{0},a_{1})=(0,m)$ là nghiệm của (1)

+ Giả sử với $n=k$ ta có $(a_{k},a_{k+1})$ là nghiệm của (1) $\Rightarrow a_{k}^{2}+a_{k+1}^{2}=m^2\left ( a_{k}.a_{k+1}+1 \right )$

$\Rightarrow m^4a_{k+1}^{2}-2m^2a_{k+1}a_{k}+a_{k}^{2}+a_{k+1}^{2}=m^4a_{k+1}^{2}-m^2a_{k+1}a_{k}+m^2$

$\Rightarrow a_{k+2}^{2}+a_{k+1}^{2}=m^2\left [ a_{k+1}\left ( m^2a_{k+1}-a_{k} \right )+1 \right ]=m^2\left ( a_{k+1}a_{k+2}+1 \right )$

$\Rightarrow (a_{k+1},a_{k+2})$ cũng là nghiệm của (1)

+ Theo nguyên lý quy nạp, mọi cặp số tự nhiên $(a_{n},a_{n+1})$ đều là nghiệm của (1).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-12-2014 - 19:05

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh