Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Toán Hà Tĩnh năm 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-10-2011 - 11:48

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia lớp 12 năm học 2011-2012

Môn: Toán- Vòng 1

(Hà Tĩnh)




Câu 1: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a > b > c > 0$. Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$$\sqrt {x - a} - \sqrt {x - b} + \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {x - c} }} = 0$$

Câu 2: Tính các góc của tam giác nhọn ABC,biết:
$$\dfrac{1}{3}\left( {\cos 3A + \cos 3B} \right) + \cos A + \cos B + \cos C = \dfrac{5}{6}$$

Câu 3: Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ với $n = 1,2,3,...$ bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
$${x_{n + 2}} \ge \dfrac{1}{4}{x_{n + 1}} + \dfrac{3}{4}{x_n}\,,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.

Câu 4: Các đỉnh $A, B, C$ của tam giác nhọn $ABC$ lần lượt nằm trên các cạnh ${B_1}{C_1},\,{C_1}{A_1},\,{A_1}{B_1}$ của tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ sao cho: $\widehat {ABC} = \widehat {{A_1}{B_1}{C_1}},\,\,\,\widehat {BCA} = \widehat {{B_1}{C_1}{A_1}},\,\,\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}{A_1}{C_1}}$. Gọi $H$ và ${H_1}$ theo thứ tự là trực tâm tam giác $ABC$ và ${A_1}{B_1}{C_1}$. CMR $H$ và ${H_1}$ cách đều tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Câu 5: Hãy xác định tất cả các hàm số $f:{N^*} \to {N^*}$ sao cho:
$$f\left( n \right) + f\left( {n + 1} \right) = f\left( {n + 2} \right)f\left( {n + 3} \right) - 22,\,\,\,\forall n \in {N^*}$$

-------------------------Hết------------------------



#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-10-2011 - 12:00

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia lớp 12 năm học 2011-2012

Môn: Toán- Vòng 2

(Hà Tĩnh)



Câu 1: Tìm $m$ để hệ: $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 2m + 1\\
\left( {x + y} \right){2^y} + {2^{x + y + 1}} = {2^{2m}} + \left( {2m - 1} \right){2^y}
\end{array} \right.$$
có nghiệm sao cho tích $xy$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Câu 2: Chứng minh rằng:
$$\left( {1 + abc} \right)\left[ {\dfrac{1}{{a\left( {1 + b} \right)}} + \dfrac{1}{{b\left( {1 + c} \right)}} + \dfrac{1}{{c\left( {1 + a} \right)}}} \right] \ge \dfrac{{\left( {{a^5} + {b^5} + {c^5}} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{{a^8} + {b^8} + {c^8}}}$$

Câu 3: Tìm tất cả các đa thức $P\left( x \right)$ có hệ số thực thỏa mãn:
$$\left\{ \begin{array}{l}
P\left( 2 \right) = 12\\
P\left( {{x^2}} \right) = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\forall x \in R$$

Câu 4:Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho ${a^3} + {b^3} + {c^3}$ chia hết cho ${a^2}b,\,{b^2}c,\,{c^2}a$.

Câu 5: Cho tập hợp $P$ gồm $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng $\left( {n \ge 3} \right)$, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm thuộc $P$ được nối bởi một đoạn thẳng tô màu đỏ hoặc tô màu xanh. Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng tô màu đỏ sao cho bất kì tam giác nào với 3 đỉnh thuộc $P$ đều có ít nhất một cạnh màu đỏ.

-------------------------Hết------------------------



#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 16-10-2011 - 12:53

câu3:bài đa thức này đồng nhất hệ số là ngon ngay
$ degP(x)=k$
thay vô pt trên thì $ 2k=k+4$
\Leftrightarrow $ k=4$
nhận thấy đây là hàm số chẵn nên $ P(x)=ax^{4}+bx^{2}+c$
lại có$ P(0)=0$ nên $ c=0$
vì thế$ P(x)=ax^{4}+bx^{2}$thay vô pt thì
ta được $ ax^{8}+bx^{4}=ax^{8}+(a+b)x^{6}+bx^{4}$
$ \Leftrightarrow a+b=0$
$ \Leftrightarrow a=-b\Rightarrow P(x)=-bx^{4}+bx^{2}$
$ P(2)=12\Rightarrow -12b=12\Rightarrow b=-1$
đa thức có dạng $ P(x)=x^{4}-x^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 17-10-2011 - 13:36


#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-10-2011 - 13:08

@ Didier có thói quen không viết hoa đầu dòng à??? Anh nghĩ em nên sửa đi không thì sau này tai hại lắm đó!

#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-10-2011 - 21:46

câu3:bài đa thức này đồng nhất hệ số là ngon ngay
$ P(2)=12\Rightarrow -240b=12\Rightarrow b=-\dfrac{1}{20}$
đa thức có dạng $ P(x)=\dfrac{1}{20}x^{4}-\dfrac{1}{20}x^{2}$


@ Didier kiểm tra lại. Em nhầm ở đây, edit lại giúp anh.

#6 PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HMU 12-18
  • Sở thích:MATH; FOOTBALL; M4U+Thùy Chi

Đã gửi 17-10-2011 - 17:08

bài phương trình hàm vòng 1
xét trường hợp không tồn tại $i$ sao cho $f(i)=f(i+2)$

$f\left( x \right) + f\left( {x + 1} \right) = f\left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right) - 22$
$ \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) + f\left( {x + 2} \right) = f\left( {x + 3} \right)f\left( {x + 4} \right) - 22$
Giả sử $f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)$
$ \Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right) = \left[ {f\left( {2n + 2} \right) - f\left( {2n} \right)} \right].\prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {2i + 1} \right)}$ (1)
nếu $f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right)$ thì
$ \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 4 \right) = \left[ {f\left( {2n} \right) - f\left( {2n + 2} \right)} \right].\prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {2i + 1} \right)} $
tương tự có
$ \Rightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = \left[ {f\left( {2n + 3} \right) - f\left( {2n + 1} \right)} \right].\prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {2i} \right)} $ (2)

Nên nếu có $x$ để $ f\left( x \right) = 1 $ thì suy ra
$f\left( {x - 2} \right) - f\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right)\left[ {f\left( x \right) - f\left( {x + 2} \right)} \right]$
$ \Leftrightarrow f\left( {x - 2} \right) - 1 = f\left( {x - 1} \right)\left[ {1 - f\left( {x + 2} \right)} \right]$
vô lí vì VT>0, VP<0

suy ra f(x) khác 1 với mọi x

từ (1) và (2) khi cho n chạy đến dương vô cùng thì thì $f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) $ và $ f\left( 4 \right) - f\left( 2 \right)$ sẽ chia hết cho vô số số khác 1

=> f(3) =f(1) và f(2)=f(4) trái giả sử

nếu f(3) =f(1) và f(2)=f(4) thì quy nạp có

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( 3 \right) = f\left( 1 \right) = a = f\left( {2x + 1} \right) \\ f\left( 4 \right) = f\left( 2 \right) = b = f\left( {2x} \right) \\ \end{array} \right.$

thay vào tìm a và b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 18-10-2011 - 10:52

Giải nhì quốc gia. Yeah

#7 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 17-10-2011 - 17:32




Câu 3: Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ với $n = 1,2,3,...$ bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
$${x_{n + 2}} \ge \dfrac{1}{4}{x_{n + 1}} + \dfrac{3}{4}{x_n}\,,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.

em giải thử bài này
với dãy này là dãy số tăng thì khỏi nói rồi bị chặn trên mà
ta chỉ xét TH đây là dãy giảm
ta có
thực chất thì dãy này không thể giảm vì
$ x_{n+2}-x_{n}\geq \dfrac{3}{4}(x_{n}-x_{n+1})$
giả sử đây là dãy giảm
$ x_{n+2}-x_{n}\leq 0$
$ x_{n}-x_{n+1}\geq 0$
trái với dk

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 17-10-2011 - 17:46


#8 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 19-10-2011 - 07:27

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia lớp 12 năm học 2011-2012

Môn: Toán- Vòng 2

(Hà Tĩnh)



Câu 4:Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho ${a^3} + {b^3} + {c^3}$ chia hết cho ${a^2}b,\,{b^2}c,\,{c^2}a$.

Giả sử $a = max{a,b,c}$
Suy ra :$a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$
$= ka^2b \leq 3a^3$

nên$kb \leq 3$
Từ đây dễ dàng tìm được a,b,c!:D

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#9 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 19-10-2011 - 11:29

Giả sử $a = max{a,b,c}$
Suy ra :$a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$
$= ka^2b \leq 3a^3$

nên$kb \leq 3$
Từ đây dễ dàng tìm được a,b,c! :D

nhầm rồi $ kb \le 3a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 19-10-2011 - 11:30


#10 Ngày không em

Ngày không em

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-10-2011 - 09:42

Câu 1:Từ phương trình thứ 2 của hệ ta có
$2m=x+y+1$
Vậy kết hợp với phương trình một ta được hệ phương trình đối xúng cãi này chắc dễ

#11 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 21-10-2011 - 16:08

Bài 2(Ngày thi thứ 2)
Nó là sự kết hợp gượng ép của 2 bất đẳng thức sau
$\dfrac{1}{{a(1 + b)}} + \dfrac{1}{{b(1 + c)}} + \dfrac{1}{{c(1 + a)}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}$

$3({a^8} + {b^8} + {c^8}) \ge \left( {{a^5} + {b^5} + {c^5}} \right)({a^3} + {b^3} + {c^3})$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#12 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 30-11-2013 - 21:29

Câu 5: Cho tập hợp $P$ gồm $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng $\left( {n \ge 3} \right)$, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm thuộc $P$ được nối bởi một đoạn thẳng tô màu đỏ hoặc tô màu xanh. Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng tô màu đỏ sao cho bất kì tam giác nào với 3 đỉnh thuộc $P$ đều có ít nhất một cạnh màu đỏ.

Đang rảnh ngồi tự sướng phát :))

Gọi $k$ là số cạnh đỏ và $N$ là số bộ (cạnh đỏ, tam giác chứa cạnh đó)

Vì một tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ nên $N\geq C_{n}^{3}$

Mặt khác, $N=k\left ( n-2 \right )$ nên ta có:

$k\left ( n-2 \right )\geq C_{n}^{3}$

$\Rightarrow k\geq \left \lceil \frac{C_{n}^{3}}{n-2} \right \rceil$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $k$ là $\left \lceil \frac{C_{n}^{3}}{n-2} \right \rceil$

(Việc xây dựng hoàn toàn có thể thực hiện dễ dàng)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh