Chủ đề này có 4 trả lời

[anh qua]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$
TÌm min,max của:P= $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:47
title fixed

[WhjteShadow]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$
TÌm min,max của:P= $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$

Em xin phép làm bài anh Quả ạ
Ta dự đoán được $P_{Min}=-\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $-1$,1 số bằng $1$, $P_{Max}=\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $1$,1 số bằng $-1$.
Ta sẽ đi chứng minh $-\frac{1}{2}\leq P\leq \frac{1}{2}$.Thật vậy điều đó tương đương:
$$P^2=\left(\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\right)^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{\sum a(b^2+1)(c^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{abc(ab+bc+ca)+ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+a+b+c}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{-(a+b+c)(ab+bc+ca)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+a+b+c}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{-3abc+a+b+c}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{-4abc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow [(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]^2\geq 4^3.a^2b^2c^2$$
Và điều này đúng khi ta nhân các bất đẳng thức 2 vế dương cùng chiều the0 $AM-GM$:
$$(a^2+1)^2\geq 4a^2,(b^2+1)^2\geq 4b^2,(c^2+1)^2\geq 4c^2$$
Vậy $P_{Min}=-\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $-1$,1 số bằng $1$, $P_{Max}=\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $1$,1 số bằng $-1$.

[BoBoiBoy]

Một cách giải khác cho bài toán này:
Từ giả thiết suy ra $a(bc+1)+b+c=0$.



-Nếu $bc+1=0 \Rightarrow b+c=0\Rightarrow \frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}=0$.
Khi đó $P=\frac{a}{a^2+1}\Rightarrow -\frac{1}{2}\le P\le \frac{1}{2}$ (do $(a+1)^2;(a-1)^2\ge 0$)



-Nếu $bc+1\neq 0\Rightarrow a=\frac{-b-c}{bc+1}$.


Ta có:
$$P=\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{\frac{b+c}{bc+1}}{\frac{(b+c)^2}{(bc+1)^2}+1}$$
$$=\frac{(b+c)(bc+1)}{(b^2+1)(c^2+1)}-\frac{(b+c)(bc+1)}{(b+c)^2+(bc+1)^2}$$
$$=\frac{(b+c)(bc+1).4bc}{(b^2+1)(c^2+1)[(b+c)^2+(bc+1)^2]}$$.

Lại có: $(b+c)^2+(bc+1)^2\ge 2\left | (b+c)(bc+1) \right |$

và $(b^2+1)(c^2+1)\ge 2\left | b \right |.2\left | c \right |$

nên $-\frac{1}{2}\le P\le \frac{1}{2}$.



Kết luận : $P_{min}=\frac{-1}{2}$ ví dụ khi $a=1;b=c=-1$
$P_{max}=\frac{1}{2}$ ví dụ khi $a=-1;b=c=1$

[PSW]

Chấm điểm:
WhjteShadow: 10

BoBoiBoy: 5

[dark templar]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$
TÌm min,max của:P= $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$

Thật đáng ngạc nhiên là nếu ta thay giả thuyết của bài toán này bằng $a+b+c=ab+bc+ca$ thì bài toán vẫn không thay đổi,tức là $P_{\max}=\frac{1}{2};P_{\min}=\frac{-1}{2}$.
Các bạn có thể chém thử bài toán này,cũng rất là thú vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-10-2012 - 14:33