Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm GTLN, GTNN của: $$P= \dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 16-10-2011 - 19:59

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$
TÌm min,max của:P= $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:47
title fixed

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-10-2012 - 11:01

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$
TÌm min,max của:P= $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$

Em xin phép làm bài anh Quả ạ :P
Ta dự đoán được $P_{Min}=-\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $-1$,1 số bằng $1$, $P_{Max}=\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $1$,1 số bằng $-1$.
Ta sẽ đi chứng minh $-\frac{1}{2}\leq P\leq \frac{1}{2}$.Thật vậy điều đó tương đương:
$$P^2=\left(\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\right)^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{\sum a(b^2+1)(c^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{abc(ab+bc+ca)+ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+a+b+c}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{-(a+b+c)(ab+bc+ca)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+a+b+c}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{-3abc+a+b+c}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow \left[ \frac{-4abc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\right]^2 \leq \frac{1}{4}$$
$$\Leftrightarrow [(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)]^2\geq 4^3.a^2b^2c^2$$
Và điều này đúng khi ta nhân các bất đẳng thức 2 vế dương cùng chiều the0 $AM-GM$:
$$(a^2+1)^2\geq 4a^2,(b^2+1)^2\geq 4b^2,(c^2+1)^2\geq 4c^2$$
Vậy $P_{Min}=-\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $-1$,1 số bằng $1$, $P_{Max}=\frac{1}{2}$ khi 2 số bằng $1$,1 số bằng $-1$.

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 BoBoiBoy

BoBoiBoy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Thái Bình
  • Sở thích:Sherlock Holmes;Football;Basketball

Đã gửi 12-10-2012 - 11:20

Một cách giải khác cho bài toán này:
Từ giả thiết suy ra $a(bc+1)+b+c=0$.



-Nếu $bc+1=0 \Rightarrow b+c=0\Rightarrow \frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}=0$.
Khi đó $P=\frac{a}{a^2+1}\Rightarrow -\frac{1}{2}\le P\le \frac{1}{2}$ (do $(a+1)^2;(a-1)^2\ge 0$)



-Nếu $bc+1\neq 0\Rightarrow a=\frac{-b-c}{bc+1}$.


Ta có:
$$P=\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{\frac{b+c}{bc+1}}{\frac{(b+c)^2}{(bc+1)^2}+1}$$
$$=\frac{(b+c)(bc+1)}{(b^2+1)(c^2+1)}-\frac{(b+c)(bc+1)}{(b+c)^2+(bc+1)^2}$$
$$=\frac{(b+c)(bc+1).4bc}{(b^2+1)(c^2+1)[(b+c)^2+(bc+1)^2]}$$.

Lại có: $(b+c)^2+(bc+1)^2\ge 2\left | (b+c)(bc+1) \right |$

và $(b^2+1)(c^2+1)\ge 2\left | b \right |.2\left | c \right |$

nên $-\frac{1}{2}\le P\le \frac{1}{2}$.



Kết luận : $P_{min}=\frac{-1}{2}$ ví dụ khi $a=1;b=c=-1$
$P_{max}=\frac{1}{2}$ ví dụ khi $a=-1;b=c=1$
Hình đã gửi

#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-10-2012 - 23:19

Chấm điểm:
WhjteShadow: 10

BoBoiBoy: 5

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 18-10-2012 - 22:09

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$
TÌm min,max của:P= $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$

Thật đáng ngạc nhiên là nếu ta thay giả thuyết của bài toán này bằng $a+b+c=ab+bc+ca$ thì bài toán vẫn không thay đổi,tức là $P_{\max}=\frac{1}{2};P_{\min}=\frac{-1}{2}$.
Các bạn có thể chém thử bài toán này,cũng rất là thú vị :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-10-2012 - 14:33

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh