Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2011 - 20:48

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Min của:
$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$


Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#2 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 13-09-2014 - 06:17

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Min của:
$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$

$A=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)+\frac{1}{2}(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}-3-\frac{1}{xy+yz+zx})+\frac{3}{2}$

       $=1+2\sum xy+\frac{\sum x(\sum x^2-\sum xy)}{2xyz}-\frac{1}{2\sum xy}+\frac{3}{2}$

mà $(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz$ nên đặt $t=xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2=1$ thì ta có $A\geq 1+2t+\frac{9}{2t}(1-t)-\frac{1}{2t}+\frac{3}{2}=2(t+\frac{2}{t}-1)$

ta có $t+\frac{2}{t}=t+\frac{1}{t}+\frac{1}{t}\geq 2+\frac{1}{1}=3$

$\Rightarrow P\geq 4$

dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1\\x=y=z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 13-09-2014 - 06:18

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh