Đến nội dung

Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 2: ALPHA - DELTA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#1
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Xin lỗi mọi người ; hôm nay PSW hơi mệt nên post đề sớm 30 ph để đi ngủ sớm ; đề thi của Delta sẽ do anh qua post ( vì do 1 vài trục trặc kĩ thuật mà PSW chưa nhận dc bản đề đầy đủ)

Mọi người tải đề thi của Alpha tại đây :

http://ifile.it/1zdlk63/alpha.doc

( mọi người cũng chú ý từ nay dùng cái host này nhé ; tương đối nhanh khi tải)

Các bạn cũng có thể download đề đội Alpha tại đây:
http://www.mediafire...64bl281mj28z3x1

ĐẤU TRƯỜNG VMF 2011

ĐỀ THI CHO TRẬN DELTA – ALPHA

Đề thi của đội ALPHA

Câu 1 (THCS). Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$\sqrt {x + 2\sqrt 3 } = \sqrt y + \sqrt z $


Câu 2 (THCS). Dựng tam giác ABC, biết góc A vuông, cạnh BC có độ dài a, đường phân giác AP có độ dài p (ap là các số dương cho trước)

Câu 3 (THPT). Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3}y - {y^4} = 28\\
{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 18\sqrt 2\end{array} \right.$$.

Câu 4 (THPT). Cho các số thực $a $và $b$ thỏa mãn $1 \ne a > 0;1 \ne b > 0$ . Chứng minh rằng phương trình:

\[\log _a^4y + \log _b^4x + 3\log _a^2x.\log _b^2y - 8{\log _a}y.{\log _b}x - 16\left( {\log _a^2y + \log _b^2x} \right) + 80 = 0\]


có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là (x1; y1);(x2; y2)
Chứng minh:

$${x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} > 4$$.


Câu 5 (THPT). Cho Cho mặt phẳng (P), điểm A cố định trên (P) và một điểm B cố định không thuộc (P). Hãy tìm trên (P) một điểm M để tỷ số

$$\dfrac{{AB + AM}}{{BM}}$$.

đạt giá trị lớn nhất.


Câu 6 (Olympiad). Cho dãy số $(un)$ xác định bởi công thức sau:
$$\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = a \in \\
{u_{n + 1}} = \dfrac{{u_n^2}}{2} - 1,\forall n \in {^*}
\end{array} \right.$$
Hãy biện luận theo $a$ sự hội tụ của dãy số và tính giới hạn của dãy số khi nó hội tụ.

Đây là đề của đội DELTA:
Câu 1 ( Số học THCS): Chứng minh phương trình: $4mn-m-n=p^{2}-1$ có vô số nghiệm nguyên dương.

Câu 2 (Hình học THCS): Cho hình chữ nhật ABCD với AB < BC. Vẽ nửa đường tròn đường kính AB nằm trên nửa mặt phẳng chứa CD bờ là đường thẳng AB. M là điểm trên nửa đường tròn (M khác A và B). Các đường thẳng MA, MB cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại P, Q. Các đường thẳng MC, MD cắt đường thẳng AB theo thứ tự tại E, F. Xác định vị trí M trên nửa đường tròn để tổng PQ + EF đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 3 (hình học THPT): Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Thỏa mãn: AB=BC; CD=DE; EF=FA. Chứng minh: $S_{ACE}\leq S_{BDF}$.

Câu 4 Giải tích THPT): Tìm $f: R \rightarrow R$ liên tục và thỏa mãn :
$f(x+2f(y)) = f(x)+y+f(y)$ với mọi $x,y \in R$.

Câu 5 (Đại số THPT):
Cho đa thức $P(x)$ bậc $2011$ với hệ số nguyên. Chứng minh
đa thức $Q(x)=P^2(x)-9$ có không quá 2015 nghiệm nguyên.

Câu 6( Số học Olympiad):
Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương thỏa mãn :$m < \dfrac{n^2}{4}$, m không có ước nguyên tố lớn hơn n. Chứng minh:
$n! $ $\vdots$ $m$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-04-2012 - 16:04

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết
hoangtrong2305 - đội DELTA giải bài 1 của đội ALPHA

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$ (1)

Bình phương hai vế, ta được:

${x+2\sqrt{3}}=y + z + 2\sqrt{yz}$

<=>$x-y-z+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$

Nhận xét: do 3 số x, y, z đều nguyên dương nên ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{yz}=2\sqrt{3}\\ y+z=x \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} y.z=3\\ y+z=x \end{matrix}\right.$

=> nghiệm của (1) là:

$\left\{\begin{matrix} y=3\\ z=1\\ x=4 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} y=1\\ z=3\\ x=4 \end{matrix}\right.$

Thử lại, ta thấy thoả mãn phương trình (1)

PSW : 4/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 28-10-2011 - 09:38

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
taminhhoang10a1 - Đội DELTA giải bài 2 của đội ALPHA

Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài
Do tam giác ABC vuông tại A nên A thuộc (O; BC/2) với O là trung diểm của BC
Vẽ đường kính HK vuông góc với BC, suy ra K nằm trên đường phân giác AP của tam giác ABC. Đặt KP = t
Không mất tính ổng quát giả sử A và H nằm cùng phía với BC
Tam giác KPO đồng dạng tam giác KHA nên $\dfrac{{KA}}{{KO}} = \dfrac{{KH}}{{KP}}$ hay $\dfrac{{p + t}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{a}{t}$
$ \Leftrightarrow t(t + p) = \dfrac{{a^2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - p + \sqrt {p^2 + 2a^2 } }}{2}$ (do t > 0)

$ \Leftrightarrow AK = \dfrac{{p + \sqrt {p^2 + 2a^2 } }}{2} = m$ với m là một số không đổi
Từ đó suy ra cách tìm điểm A như sau

- Dựng đoạn BC = a

- Vẽ đường tròn (O ; BC/2)

- Dựng đường kính HK vuông góc với BC

- Tính m

- Vẽ (K;m). Điểm A là giao của (O) và ®


PSW : 5/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 23-11-2011 - 22:34

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#4
Nguyễn Hoàng Lâm

Nguyễn Hoàng Lâm

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
Nguyễn Hoàng Lâm- Đội Alpha xin giải bài 1 của đội Delta:
Chọn $ n=1 $ , ta có : $ 3m=p^2 $
Chọn $ m=3k^2 \Rightarrow p=3k, k \in N^{*} $
Do đó phương trình có nghiệm tương ứng $ ( n,m,p ) $ là $ (1,3k^2, 3k ) , k \in N^{*} $
Suy ra phương trình có vô số nghiệm dương .


PSW : Tuyệt :) 6/6 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 28-10-2011 - 12:09

Đôi khi ta mất niềm tin để rồi lại tin vào điều đó một cách mạnh mẽ hơn .


#5
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
taminhhoang10a1- Đội DELTA giải bài 3 của đội ALPHA

Đặt $x = \sqrt 2 a;y = \sqrt 2 b$ . Từ hệ đầu suy ra a ; b > 0
Hệ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b(a^3 - b^3 ) = 7 \\
b(a + b)^2 = 9 \\
\end{array} \right.$

Từ phương trình đầu của hệ ta suy ra $a = \sqrt[3]{{\dfrac{7}{b} + b^3 }}$

Thay vào phương trình thứ 2 ta có: $b(\sqrt[3]{{\dfrac{7}{b} + b^3 }} + b)^2 = 9$ (1)

Dễ thấy b= 1 là 1 nghiệm của (1). Ta sẽ CM (1) có nghiệm duy nhất

Thật vậy: $b(\sqrt[3]{{\dfrac{7}{b} + b^3 }} + b)^2 = b(b^2 + 2b\sqrt[3]{{b^3 + \dfrac{7}{b}}} + \sqrt[3]{{(b^3 + \dfrac{7}{b})^2 }}$

$= b^3 + 2b^2 \sqrt[3]{{b^3 + \dfrac{7}{b}}} + b\sqrt[3]{{(b^3 + \dfrac{7}{b})^2 }}$

$ = b^3 + 2b\sqrt[3]{{b^6 + 7b^2 }} + \sqrt[3]{{b(b^4 + 7)^2 }}$

Nếu b càng tăng thì giá trị của biểu thức càng tăng, hay là hàm đồng biến nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất là b=1
Từ đó suy ra a=2
Suy ra $x = 2\sqrt 2 ;y = \sqrt 2 $
Vậy hpt đầu có nghiệm duy nhất (x;y) là ($2\sqrt 2; \sqrt 2$) Nhận xét: Nếu đặt như trên thì bài toán trở thành 1 trừơng hợp của 1 câu trong đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên năm vừa qua

PSW : 7/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 23-11-2011 - 23:04

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#6
thangthan

thangthan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
Thangthan đội DELTA giải bài 6 đội ALPHA
Bài 6:Đặt $p=\sqrt3+1,q=1-\sqrt3$ thì p,q là 2 nghiệm của pt $x= \dfrac{x^2}{2}-1\Leftrightarrow x^2-2x-2=0$ Chú ý là $-p<q<-q<p$
Xét các TH sau:
1)Nếu $u_1>p$ suy ra $p<u_1<u_2<... $có nghĩa là $u_n$ là dãy tăng.Nếu dãy $u_n$ bị chặn trên suy ra dãy $u_n$ tồn tại giới hạn hữu hạn là l.Suy ra $l=\dfrac{l^2}{2}-1$ nên $l=p$ hoặc $l=q$,đều vô lý.Vậy dãy $u_n$ ko bị chặn trên,tức limu_n=dương vô cùng.
2)Nếu $u_1<-p$ suy ra $u_2=\dfrac{u_1^2}{2}-1> \dfrac{p^2}{2}-1=p$.Cho rằng dãy bắt đầu từ u_2 thì như TH1 suy ra $limu_n=$+vô cùng.
3)Nếu $-q\leq u_1\leq q$.Ta có
$u_{2n+1}=\dfrac{u_{2n}^2}{2}-1=\dfrac{\dfrac{u_{2n-1}^2-2}{2}-2}{2}=\dfrac{u_{2n-1}^4-4u_{2n-1}^2-4}{8}$
nên $u_{2n+1}-u_{2n-1}=\dfrac{(u_{2n-1}^2-2u_{2n-1}-2)(u_{2n-1}^2+2u_{2n-1}+2)}{8}$ (1)
Ta cm bằng quy nạp là $q\leq u_{2n-1}\leq -q$ với mọi n nguyên dương (*)
Thật vậy (*) đúng với n=1.Giả sử (*) đúng đến n=k tức là $q\leq u_{2k-1}\leq -q.Suy ra -1\leq u_{2k}\leq q$ nên $u_{2k+1}=\dfrac{u_{2k}^2}{2}-1\leq \dfrac{q^2}{2}-1=q$và $u_{2k+1}+q=\dfrac{u_{2k}^2-2+2q}{2}< \dfrac{1-2+0}{2}< 0$ nên theo quy nạp thì (*) đúng.
Do $q\leq u_{2n-1}\leq -q<p$ với mọi n nên $u_{2n-1}^2-2u_{2n-1}-2<0.$
Từ (1) suy ra$ u_{2n-1}$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi q nên tồn tại $limu_{2n-1}=l$.
Chuyển qua giới hạn ta có $l-l=\dfrac{(l^2-2l-2)(l^2+2l+2)}{8}$,suy ra l=q.
Mà $u_{2n}=\dfrac{u_{2n-1}^2-2}{2}$ nên $limu_{2n}=q$.Vậy $limu_n=q$
4)$-q<u_1<p$Khi đó
+) nếu tồn tại k để u_k thuộc $[q,-q]$,thì coi dãy bắt đầu từ $u_k $suy ra $limu_n=q$
+)Nếu với mọi n nguyên dương thì u_n ko thuộc [q,-q]
Do $u_1$ thuộc $(-q,p)$ nên $u_2$ thuộc $(q,p)$.Mà $u_2$ ko thuộc $[q,-q]$nên $u_2$ thuộc $(-q,p)$.Tương tự thì $u_n$ thuộc$ (-q,p)$ với mọi n nguyên dương
Ta có $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2-2u_n-2}{2}=\dfrac{(u_n-p)(u_n-q)}{2} (2)$.
Vì $u_n$ thuộc (-q,p) với mọi n nen $u_n^2-2u_n-2<0$ với mọi n.Kết hợp (2) suy ra u_n là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại $limu_n=l$.Chuyển qua giới hạn suy ra $l=\dfrac{l^2}{2}-1$ nên l=p hoặc l=q,đều vô lý.
5)u_1 thuộc $(-p,q)$ suy ra $q<u_2<p$.Kết hợp TH3 và TH4 suy ra $limu_n=q$
6) nếu $u_1=p$ thì $u_n=p$ với mọi n,suy ra $limu_n=p$
7) nếu $u_1=-p$ thì $u_n=p$ với mọi n lớn hơn 1,suy ra $limu_n=q$
Từ các Th trên ta kết luận:
Nếu $a< -p$ hoặc $a>p$ thì $ limu_n$=+vô cùng
Nếu $-p\leq a< p$ thì $limu_n=q$
Nếu $a=p$ hoặc $a=-p$ thì $limu_n=p$

PSW : 7/8 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 06-12-2011 - 11:08


#7
thangthan

thangthan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
Trọng tài và thành viên đội ALPHa làm ơn xem lại giúp mình câu 4 là có cả ${\log _a}y$ và ${\log _a}x$ à?

#8
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
Thay mặt toàn đội DELTA, em chân thành xin lỗi anh PSW cũng như đội ALPHA vì post đề bài 6 thiếu điều kiện. Em đã sửa lại đề bài, rất mong mọi người thông cảm. Em xin hứa sẽ cố gắng để không mắc những sai sót như vừa rồi, gây ảnh hưởng tới cuộc thi.
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#9
tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
tranghieu95 đội delta xin giải bài 4 của đội alpha

Ta có :
$log_{a}x.log_{b}y=\dfrac{ln x}{ln a}.\dfrac{ln y}{ln b}=\dfrac{ln x}{ln b}.\dfrac{ln y}{ln a}=log_{a}y.log_{b}x$

PT đã cho trở thành:

$log_{4}^{a}y+log_{4}^{b}x+3log_{2}^{a}y.log_{2}^{b}x-8log_{a}y.log_{b}x-16(log_{2}^{a}y+log_{2}^{b}x)+80=0$
$\Leftrightarrow (log_{2}^{a}y+log_{2}^{b}x-8)^{2}+(log_{a}y.log_{b}x-4)^{2}=0$
$\Leftrightarrow $
$\text log_{2}^{a}y+log_{2}^{b}x=8$
$\text log_{a}y.log_{b}x-4=0$
\end{cases}
$\Leftrightarrow log_{a}y=log_{b}x=2$
Hoặc $log_{a}y=log_{b}x=-2$

Suy ra pt đã cho có 2 nghiệm (x1;y1); (x2;y2)
Ta có:$x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}=e^{2lna}+e^{-2lna}+e^{2lnb}+e^{-2lnb}=e^{2lna}+\dfrac{1}{e^{2lna}}+e^{2lnb}+\dfrac{1}{e^{2lnb}}\geq 4 $(Dấu bằng không xảy ra)

Ta có đpcm

PSW : 6/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 28-10-2011 - 12:13

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#10
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
dark templar-thành viên đội ALPHA giải bài 3 của đội DELTA:
Bác nào bên ALPHA up giùm mình cái hình nhé :icon6:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác ABCDEF,với R là bán kính của nó.
Ta đặt:$\widehat{CAE}=\alpha;\widehat{AEC}=\beta;\widehat{ACE}=\gamma$
Dễ dàng thấy rằng:$\alpha+\beta+\gamma=\pi$(3 góc trong tam giác ACE).
Ta có các cặp tam giác bằng nhau sau:
$$\Delta COD=\Delta EOD(c-c-c)$$(do $DC=DE;OD=OC=OE=R$)
$$\Delta EOF=\Delta AOF(c-c-c)$$(do $EF=FA;OE=OF=OA=R$)
$$\Delta AOB=\Delta COB(c-c-c)$$(do $BC=BA;OC=OA=OB=R$)
Suy ra :
$$\left\{\begin{matrix}\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\alpha \\ \widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\beta \\ \widehat{EOF}=\widehat{FOA}=\gamma \end{matrix}\right.$$
Ta lại có theo định lý sin trong tam giác ACE:
$$S_{ACE}=\dfrac{EC.CA.AE}{4R}=\dfrac{2R.\sin{\alpha}.2R.\sin{\beta}.2R.\sin{\gamma}}{4R}=2R^2\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}$$
Mặt khác,ta có:
$$\widehat{DOF}=2\widehat{DBF}=\widehat{DOE}+\widehat{EOF}=\alpha+\gamma$$
Hay:
$$\widehat{DBF}=\dfrac{\alpha+\gamma}{2}$$
Một cách tương tự,ta cũng thu được:
$$\left\{\begin{matrix}\widehat{DFB}=\dfrac{\alpha +\beta }{2} \\ \widehat{BDF}=\dfrac{\beta +\gamma }{2} \end{matrix}\right.$$
Như vậy cũng tương tự như cách diện tích của tam giác ACE,ta có:
$$S_{ADF}=2R^2\sin{\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)}\sin{\left(\dfrac{\beta+\gamma}{2} \right)}\sin{\left(\dfrac{\gamma+\alpha}{2} \right)}$$
Hay:
$$S_{ADF}=2R^2\cos{\dfrac{\alpha}{2}}\cos{\dfrac{\beta}{2}}\cos{\dfrac{\gamma}{2}}$$
Như vậy,BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma} \le \cos{\dfrac{\alpha}{2}}\cos{\dfrac{\beta}{2}}\cos{\dfrac{\gamma}{2}}$$
Hay:
$$8\sin{\dfrac{\alpha}{2}}\sin{\dfrac{\beta}{2}}\sin{\dfrac{\gamma}{2}} \le 1$$
Hay:
$$4\sin{\dfrac{\gamma}{2}}\left[\cos{\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right)}-\cos{\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)} \right] \le 1$$
Hay:
$$1-4\sin{\dfrac{\gamma}{2}}\cos{\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right)}+4\sin^2{\dfrac{\gamma}{2}} \ge 0$$
Hay:
$$\left[2\sin{\dfrac{\gamma}{2}}-\cos{\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right)} \right]^2+\sin^2{\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right)} \ge 0$$(luôn đúng).
Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi lục giác ABCDEF là lục giác đều.

PSW : 7/7 điểm Tốt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 23-11-2011 - 22:46

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
E.Galois của ALPHA xin giải bài 4 của DELTA

Câu 4 Giải tích THPT): Tìm $f: R \rightarrow R$ liên tục và thỏa mãn :
$f(x+2f(y)) = f(x)+y+f(y)$ với mọi $x,y \in R$.(1)

Với x = y, ta có:
$$f(x+2f(x))=x+2f(x) (2)$$

Thay y trong (1) bằng y + 2f(y) và áp dụng (2), ta có :
$$f(x)+2y+4f(y) = f(x + 2y + 4f(y))= f{[(x + 2y + 2f(y)) + 2f(y)]}$$
$$= f[(x + 2y) + 2f(y)] + y + f(y)= f(x + 2y) + 2y + 2f(y)$$

Từ đó suy ra :
$$f(x + 2y) = f(x) + 2f(y)$$

Cho x = y = 0, ta có f(0) = 0
Cho x = 0, và kết hợp f(0) = 0, ta có :
$$f(2y) = 2f(y)$$

Vậy ta có :
$$f(x + y) = f(x) + f(y) (3)$$

Hàm f liên tục, xác định trên R thỏa mãn điều kiện (3) là nghiệm của phương trình hàm Cauchy. Ta có $f(x) = ax $với $a = f(1)$.
thay x = 1 và $f(x) = ax, y ≠ 0$, vào (1), ta có :

\[
(1 + 2ay) = ax + y + ay \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1 \\
a = - \dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right.
\]


Do đó $f(x) = x$ hoặc $f(x) = \dfrac{{ - x}}{2}$
Thay vào (1), ta thấy hai nghiệm trên thỏa mãn
Vậy hàm cần tìm là $f(x) = x$ hoặc $f(x) = \dfrac{{ - x}}{2}$

___________________
Nếu các bạn coi PTH Cauchy là ngoài chương trình phổ thông, mình sẵn sàng chứng minh nó ở đây.

PSW : không cần đâu E.Galois :D

7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 06-12-2011 - 17:28

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#12
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
h.vuong_pdl: giải bài hình THCS ( bài 2) của đội Delta

Mình trình bày trên file Word , mong giám khảo thông cảm.

Phiền anh psw tải file ở đây:

Mình chụp 1 phần bài giải :P
PSW : 6/6 Tốt

Hình đã gửiHình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 23-11-2011 - 22:44

rongden_167


#13
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
E.Galois của ALPHA xin giải bài 5 của DELTA


Câu 5 (Đại số THPT):
Cho đa thức $P(x)$ bậc $2011$ với hệ số nguyên. Chứng minh
đa thức $Q(x)=P^2(x)-9$ có không quá 2015 nghiệm nguyên.


Giả sử $Q(x)$ có nhiều hơn 2015 nghiệm nguyên. Ta có:
$$Q(x)=P^2(x)- 9 = \left [ P(x)-3 \right ]\left [ P(x)+3 \right ]$$
Giả sử $P(x) - 3$ có $m$ nghiệm là
$$x_1; x_2; ...; x_m$$
$P(x) + 3$ có $n$ nghiệm là
$$y_1; y_2; ...; y_n$$.
Dễ thấy hai tập nghiệm trên không giao nhau và $m + n $ chính là số nghiệm của $Q(x)$.
Không giảm tổng quát, ta giả sử:
$$x_1< x_2< ...< x_m; y_1<y_2<...<y_n$$
Vì $degP(x) = 2011$ nên
$$m\leq 2011; n\leq 2011$$
Mặt khác vì $Q(x)$ có nhiều hơn 2015 nghiệm nên
$$m+n\geqslant 2015$$.
Do đó:
$$m\geqslant 5;n\geqslant 5;$$
Do vậy tồn tại
$$i_0 (1\leq i_0\leqslant m);j_0 (1\leq i_0\leqslant n);$$
sao cho
$$\left | x_{i_0} - y_{j_0} \right | \geqslant 7$$(1)


Ta lại có:
$$P( x_{i_0}) - P(y_{j_0}) = 6$$
Và vì $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên nên:
$$\left (P( x_{i_0}) - P(y_{j_0}) \right ) \vdots (x_{i_0} - y_{j_0})$$
hay
$$6 \vdots (x_{i_0} - y_{j_0})$$(2)

Mâu thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ điều giả sử ban đầu là sai.
Vậy $Q(x)$ có không quá 2015 nghiệm nguyên.

Điểm : 5/7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 28-10-2011 - 09:48

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#14
thangthan

thangthan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
Thangthan đội alpha giải câu 5 đội ALPHA:
1) Nếu M trùng với A thì tỷ số đã cho bằng 1
2)Nếu M ko trùng A thì M,A,B tạo thành 1 tam giác thực sự.Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác MAB ta có
$\dfrac{AB+AM}{MB}=\dfrac{sinM+sinB}{sinA}=\dfrac{2sin\dfrac{M+B}{2}cos\dfrac{M-B}{2}}{2sin\dfrac{A}{2}cos\dfrac{A}{2}}= \dfrac{cos\dfrac{M-B}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}\leq \dfrac{1}{sin\dfrac{A}{2}}\leq \dfrac{1}{sin\dfrac{\alpha}{2}}$
trong đó M,A,B là các góc của tam giác MAB,$\alpha$ là góc hợp bởi AB và (P).
Dấu = có khi M thuộc hình chiếu của AB trên (P) và AB=AM
Vậy max $\dfrac{AB+AM}{MB}=\dfrac{1}{sin\dfrac{\alpha}{2}}$

PSW : 7/7 điểm

Bài này cũng chính là đề thi tuyển ĐH Bách Khoa Hà Nội năm 1999

Vì nó cũ rồi nên PSW đồng ý chọn nó làm đề chính thức :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2011 - 13:41


#15
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
Rất hay. Như vậy là DELTA đã làm xong. Mong ban giám khảo cân nhắc cho DELTA được cộng thêm điểm thời gian
  • cvp yêu thích
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#16
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Các đội khẩn trương xem xét lại các lời giải để tránh những lỗi sai ; thiếu sót không đáng
  • cvp yêu thích
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#17
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
PSW thông báo : hiện ; PSW không hiểu lời giải bài Toán số 5 của E.Galois

E.Galois có thể giải thích thêm cái đoạn $|x-y| \ge 7$ không ?
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#18
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

$$m\geqslant 5;n\geqslant 5;$$
Do vậy tồn tại
$$i_0 (1\leq i_0\leqslant m);j_0 (1\leq i_0\leqslant n);$$
sao cho
$$\left | x_{i_0} - y_{j_0} \right | \geqslant 7$$(1)

Để cho dễ hiểu, ta lấy m và n nhỏ nhất, tức là m = 5, n = 5. Khi đó $x_i; y_i$ là 10 số nguyên khác nhau. Hiển nhiên là tồn tại 2 số trong 10 số đó sao cho $|x - y| \geqslant 7$

Mình ko hiểu mình bị trừ điểm chỗ nào nhỉ, có gì sai chăng. Mong được PSW và đội DELTA chỉ giáo
Bài dựng hình cần có các bước: phân tích, dựng hình, chứng minh, biện luận, DELTA còn thiếu đấy nhé, PSW nhớ trừ điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#19
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Đề nghị 2 đội chơi bắt đầu " phê bình " bài làm của nhau ; và yên tâm là các điểm số ở trên chỉ là tạm thời ; chưa chốt chính thức ; đừng " xoắn " quá nhé :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#20
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Xin đề nghị đội DELTA công bố đáp án bài OLP, mình vẫn thấy "ấm ức" vì chưa giải được nó, mong được các bạn chỉ giáo

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh