Đây là lời giải sơ qua của Nguyen Dzung.Câu 6( Số học Olympiad):
Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương thỏa mãn :$m < \dfrac{n^2}{4}$, m không có ước nguyên tố lớn hơn n. Chứng minh:
$n! $ $\vdots$ $m$.
Gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kì của m. Giả sử $a,b$ là số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn của $n!$ và $m$. Ta cần chứng minh $a \ge b$
Kí hiệu $[\alpha]$ là phần nguyên của $\alpha$
Nếu $b=2s$.
Ta có $n \ge 2\sqrt{m} \ge 2p^s$
Do đó $a \ge [\dfrac{n}{p}] \ge 2p^{s-1} \ge 2s = b$
Nếu $b=2s+1$.
Ta có $n \ge 2\sqrt{m} \ge 2p^s\sqrt{p}$
Nếu $n>4p^s$ thì $a \ge [\dfrac{n}{p}] \ge 4p^{s-1} \ge 4.2^{s-1} = 2^{s+1} \ge 2s+1=b$
Nếu $n \le 4p^s$ thì
$4p^s \ge n \ge 2p^s\sqrt{p}$
$\Rightarrow 2 \ge \sqrt{p} \Rightarrow 2\sqrt{p} \ge p$
$\Rightarrow n \ge 2p^s\sqrt{p} \ge p^{s+1}$
Do đó $a \ge \sum_{i=1}^{s+1} [\dfrac{n}{p^i}] \ge \sum_{i=0}^{s} p^i \ge \sum_{i=0}^{s} 2^i = 2^{s+1}-1 \ge 2s+1=b$
$\Rightarrow a \ge b$ (dpcm)