Đến nội dung

Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 2: ALPHA - DELTA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#21
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết

Câu 6( Số học Olympiad):
Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương thỏa mãn :$m < \dfrac{n^2}{4}$, m không có ước nguyên tố lớn hơn n. Chứng minh:
$n! $ $\vdots$ $m$.

Đây là lời giải sơ qua của Nguyen Dzung.
Gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kì của m. Giả sử $a,b$ là số mũ của $p$ trong phân tích tiêu chuẩn của $n!$ và $m$. Ta cần chứng minh $a \ge b$

Kí hiệu $[\alpha]$ là phần nguyên của $\alpha$

Nếu $b=2s$.
Ta có $n \ge 2\sqrt{m} \ge 2p^s$
Do đó $a \ge [\dfrac{n}{p}] \ge 2p^{s-1} \ge 2s = b$

Nếu $b=2s+1$.
Ta có $n \ge 2\sqrt{m} \ge 2p^s\sqrt{p}$

Nếu $n>4p^s$ thì $a \ge [\dfrac{n}{p}] \ge 4p^{s-1} \ge 4.2^{s-1} = 2^{s+1} \ge 2s+1=b$

Nếu $n \le 4p^s$ thì
$4p^s \ge n \ge 2p^s\sqrt{p}$
$\Rightarrow 2 \ge \sqrt{p} \Rightarrow 2\sqrt{p} \ge p$
$\Rightarrow n \ge 2p^s\sqrt{p} \ge p^{s+1}$

Do đó $a \ge \sum_{i=1}^{s+1} [\dfrac{n}{p^i}] \ge \sum_{i=0}^{s} p^i \ge \sum_{i=0}^{s} 2^i = 2^{s+1}-1 \ge 2s+1=b$

$\Rightarrow a \ge b$ (dpcm)
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#22
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
trận này đang chấm điểm ; đừng thúc giục ; thúc giục làm trọng tài mất bình tĩnh :">
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#23
T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 1161 Bài viết

Mình ko hiểu mình bị trừ điểm chỗ nào nhỉ, có gì sai chăng. Mong được PSW và đội DELTA chỉ giáo


Bài của anh Thế không có lỗi sai nghiêm trọng nhưng nhìn qua em thấy được 2 lỗi sai nhỏ trong lập luận và viết lách:

- Lỗi sai lập luận :

Vì $degP(x) = 2011$ nên
$$m\leq 2011; n\leq 2011$$
Mặt khác vì $Q(x)$ có nhiều hơn 2015 nghiệm nên
$$m+n\geqslant 2015$$.
Do đó:
$$m\geqslant 5;n\geqslant 5;$$
Do vậy tồn tại
$$i_0 (1\leq i_0\leqslant m);j_0 (1\leq i_0\leqslant n);$$
sao cho
$$\left | x_{i_0} - y_{j_0} \right | \geqslant 7$$(1)


Ở đây $m+n\geqslant 2016$. Anh để $2015$ cũng không sai nhưng như vậy anh chỉ có thể khẳng định $m\geqslant 4;n\geqslant 4$ dù kết luận $\left | x_{i_0} - y_{j_0} \right | \geqslant 7$ của anh vẫn đúng.

- Lỗi sai viết lách :


Do vậy tồn tại
$$i_0 (1\leq i_0\leqslant m);j_0 (1\leq i_0\leqslant n);$$


Ở đây phải là $j_0 (1\leq j_0\leqslant n)$

Trình bày cũng chưa được đẹp mắt nên em nghĩ trọng tài cho 5/7 là hợp lý :).

#24
Minhnguyenquang75

Minhnguyenquang75

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 244 Bài viết
Anh dark templar cho em hỏi chút, chỗ

Ta lại có theo định lý sin trong tam giác ACE:
$$S_{ACE}=\dfrac{EC.CA.AE}{4R}=\dfrac{2R.\sin{\alpha}.2R.\sin{\beta}.2R.\sin{\gamma}}{4R}=2R^2\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}$$


là định lý sin ạ ? Em lại tưởng là công thức tính S tam giác @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 07-11-2011 - 20:39


#25
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Anh dark templar cho em hỏi chút, chỗ
là định lý sin ạ ? Em lại tưởng là công thức tính S tam giác @@

Cái này là hệ quả định lý hàm số sin.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#26
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Đây là đáp án của Delta ; 1 đáp án được soạn rất chi tiết và đẹp . Mọi người tham khảo nhé :)

Mình đề nghị Alpha post đáp án lên cho mọi người tham khảo ; ít nhất ; nếu không có thời gian thì gửi lời giải cho những bài mà Delta không đạt điểm tối đa :)

Tin vui cho các thành viên Delta là đây là trận thắng thứ 2 ; điểm số của từng bài cụ thể sẽ được công bố ngày mai :)

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 23-11-2011 - 22:52

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#27
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Sau đây là đáp án của mình cho câu 2 của ALPHA.

Câu 2 (THCS). Dựng tam giác ABC, biết góc A vuông, cạnh BC có độ dài a, đường phân giác AP có độ dài p (ap là các số dương cho trước)


Giải
Phân tích
Giả sử đã dựng được tam giác $ABC$ thỏa mãn đề bài. Dễ thấy $BC$ hoàn toàn xác định.

Hình đã gửi


Do $\widehat{A}=90^o$ nên $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$
Kẻ đường cao $AH$ và đặt $AH=x>0$, ta có:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}ax(*)$$
Mặt khác, gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $B,C$ lên $AP$, ta có

$$S_{ABC}=S_{ABP}+S_{ACP} = \frac{1}{2}AP(BD+CE)=\frac{1}{2}p.\frac{\sqrt{2}}{2}(AB+AC)(**)$$
Từ (*) và (**) ta có:
$$ax=\frac{\sqrt{2}}{2}p.(AB+AC)$$
$$\Rightarrow a^2x^2=\frac{p^2}{2}(AB^2+AC^2+2AB.AC)$$
$$\Rightarrow 2a^2x^2=p^2(a^2+2ax)\Rightarrow 2ax^2-2p^2x-p^2a=0$$
Do đó:
$$x=\frac{p^2+\sqrt{p^4+2a^2p^2}}{2a}=\frac{ap^2}{\sqrt{p^4+2a^2p^2}-p^2}$$
Hay
$$x=\frac{a}{\sqrt{1+2\left ( \frac{a}{p} \right )^2}-1}$$

Vậy $A$ là giao điểm của $d$ và đường tròn đường kính $BC$, với $d$ là đường thẳng song song và cách $BC$ một khoảng $x$ xác định như trên.

Dựng hình
- Dựng đoạn $BC = a$
- Dựng đường tròn $(I)$ đường kính $BC$
- Dựng đường thẳng $m$ đi qua $I$ vuông góc với $BC$
- Tính $x$, dựng $J \in m$ sao cho $IJ = x$
- Dựng đường thẳng $d$ đi qua $J$ và song song với $BC$
- Dựng $A$ là giao điểm của $d$ và $(I)$
- Dựng $AB, AC$


Hình đã gửi


Chứng minh
Theo cách dựng, ta có: $BC=a$. Vì $A \in (I)$ nên tam giác $ABC$ vuông ở $A$.
Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ ta có $AH=x$. Gọi $q$ là độ dài đường phân giác $AP$ của tam giác vừa dựng. Lập luận tương tự phần phân tích, ta có:

$$x=\frac{a}{\sqrt{1+2\left ( \frac{a}{q} \right )^2}-1}$$
Từ đó dễ thấy $p=q$
Ta có đpcm.

Biện luận
Bài toán có nghiệm khi và chỉ khi
$$x \leq \frac{a}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{1+2\left ( \frac{a}{q} \right )^2}-1} \leq \frac{a}{2} \Leftrightarrow p \leq \frac{a}{2}$$


Đồng nhất các nghiệm hình bằng nhau, bài toán nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất.
Bài toán vô nghiệm khi $p > \frac{a}{2}$

p/s: Bài Olympiad thangthan làm tương đối tốt rồi, PSW chỉ cần xem có lỗi trình bày nữa thôi, một số công thức toán, kĩ hiệu toán chưa rõ


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#28
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Trận này đã chấm xong với điểm số từng bài cụ thể như trên :)

Delta chiến thắng

Toán thủ xuất sắc nhất : Thangthan

Bài Toán hay nhất : Bài Olympiad của Delta

Giải mâm xôi vàng : Bài Số học THCS của Alpha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 06-12-2011 - 17:33

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#29
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Như vậy trận này tỉ số là ALPHA 31 - 36 DELTA

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh