Chủ đề này có 2 trả lời

[kingsaha]

Cho a,b,c > 0 va a+b+c=3 Tim GTNN cua:\[

A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}
\]

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cho a,b,c > 0 va a+b+c=3 Tim GTNN cua:\[

A = \dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}
\]

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\sqrt{3(ab+bc+ca)}\leq a+b+c=3$
$A=\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}=\dfrac{a^{2}}{a\sqrt{b}}+\dfrac{b^{2}}{b\sqrt{c}}+\dfrac{c^{2}}{c\sqrt{a}}\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\geq \dfrac{3^{2}}{3}=3$
Vậy Min A=3 khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 19-10-2011 - 18:21

[taminhhoang10a1]

Cách khác đây:
Ta có $ab + bc + ca \le \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{3} = 3$
$\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{a}{{\sqrt b }} + ab \ge 3a$ (BĐT Cô-si)
Tương tự $ \Rightarrow 2(\dfrac{a}{{\sqrt b }} + \dfrac{b}{{\sqrt c }} + \dfrac{c}{{\sqrt a }}) \ge 9 - ab - bc - ca \ge 6$ (dpcm)