Đến nội dung


Hình ảnh

Trong tứ giác lồi có 3 cạnh bằng a cho trước. Hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-10-2011 - 13:49

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S, M$ là trung điểm $BC$. Gọi $F$ là điểm thuộc $BM$. Đường thẳng qua $F$ và song song $AM$ cắt $AB$ tại $E$. Tìm vị trí của $F$ trên $BM$ để tam giác $ EFC$ có diện tích lớn nhất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-06-2014 - 11:06

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 28-06-2014 - 15:44

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S, M$ là trung điểm $BC$. Gọi $F$ là điểm thuộc $BM$. Đường thẳng qua $F$ và song song $AM$ cắt $AB$ tại $E$. Tìm vị trí của $F$ trên $BM$ để tam giác $ EFC$ có diện tích lớn nhất.

Let $x$ be the proportion $\frac{BE}{BA}$, which vaies from $0$ to $1$. The area of the triangle EFC can be easily computed in terms of $x$ and $S$ by

$$S(EFC) : = Sx\left(1-\frac{x}{2}\right).$$

Then the maximum is attained at $x=1$ which corresponds to $F=M$. 

 

 

 

 

To mod: I think English is universal and everybody can understand (otherwise one should reconsider himself, herself). On the other hand, typing vietnamese characters is terrible for me (because of my keyboard). 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 28-06-2014 - 17:49


#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 30-06-2014 - 15:33

Trong tứ giác lồi bất kì có 3 cạnh bằng $a$ cho trước, hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

Untitled.png

Ta có : $m=2a.\sin\left(\frac{\widehat{B}}{2}\right);\ n=2a.\sin\left(\frac{\widehat{A}}{2}\right);$

$\alpha=180^o-\widehat{BAC}-\widehat{ABD}=108^o-\frac{180^o-\widehat{B}}{2}-\frac{180^o-\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}$, với $\widehat{A}=\widehat{BAD};\ \widehat{B}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\text{ x }\overrightarrow{BD}\right|=\frac{1}{2}m.n.\sin\alpha=2a^2.\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$

Do $0<A,B<180^o\Rightarrow 0<\frac{A}{2};\frac{B}{2}<90^o$ và hàm $\sin$ là hàm lõm dương trong khoảng $(0,90^0)$ nên suy ra :

$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\overset{\text{Côsi}}{\le}\left(\frac{\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}}{2}\right)^2\overset{Jensen}{\le}\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)$

$1=\frac{\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3}+\frac{\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3}+\frac{\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3}+\cos^2\left(\frac{A+B}{4}\right)$$\overset{\text{Côsi}}{\ge}4.\sqrt[4]{\frac{\sin^6\left(\frac{A+B}{4}\right)\cos^2\left(\frac{A+B}{4}\right)}{3^3}}=\frac{4\sqrt[4]{3}}{3}.\sqrt{\sin^3\left(\frac{A+B}{4}\right)\cos\left(\frac{A+B}{4}\right)}$

$\Rightarrow S\le 2a^2.\sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right).2.\sin\left(\frac{A+B}{4}\right).\cos\left(\frac{A+B}{4}\right)\le 4a^2.\frac{3\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}A=B \\ \sin^2\left(\frac{A+B}{4}\right)=3.\cos\left(\frac{A+B}{4}\right)\end{cases}\Leftrightarrow A=B=120^o$

Vậy hình thang cân (đáy nhỏ = cạnh bên = a, đáy lớn = 2a) sẽ có diện tích lớn nhất và bằng $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$.


  • LNH yêu thích




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh