Đến nội dung


Hình ảnh

Kì thi chọn học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 21-10-2011 - 20:06

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Môn Thi: Toán

Thời gian làm bài : 180 phút

________________________________

Vòng 1.

Bài 1. Giải hệ phương trình sau




$$\begin{cases}& 2+6y=\dfrac{x}{y}-\sqrt{x-2y}\\ &\sqrt{x+\sqrt{x-2y}} =x+3y-2\end{cases}$$

Bài 2. Cho $f: \mathbb N^*\to\mathbb N^*$ thỏa mãn các điều kiện sau
$$\begin{cases} & f(1)=1\\ & f(n)=n-f(f(n-1)) \forall n\geq 2\end{cases}$$
Hãy chứng minh rằng :

$f(2012)=f(2011)$ hoặc $f(2012)=f(2011)+1$




Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng

$$4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 1$$

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ không cân có $BC=a,CA=b,AB=c$. Giả sử $AA_1,BB_1,CC_1$ là các đường phân giác trong của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng nếu $A_1B_1=A_1C_1$ thì
$$\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{a+c}$$

Bài 5. Tìm các hoán vị $p$ của tập $\left \{ 1,2,...,2011 \right \}$ thỏa mãn $|p(1)-1|+|p(2)-2|+...+|p(2011)-2011|=\dfrac{2011^2-1}{2}$

Vòng 2




Bài 1
Giải hệ phương trình :
$$\begin{cases} & x^3+3xy^2=6xy-3x-49 \\ & x^2-8xy+y^2=10y-25-9 \end{cases}$$

Bài 2. Tìm tất cả các dãy số tự nhiên ${a_n}$ bị chặn thỏa mãn
$$a_{n+1}=\dfrac{a_n+a_{n-1}}{\gcd(a_n,a_{n-1})}$$

Bài 3. Cho lục giác lồi $ABCDEF$ có $\angle B + \angle D +\angle F = 360^o$ và $\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{CD}{DE}.\dfrac{EF}{FA}$. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{BC}{CA}.\dfrac{AE}{EF}.\dfrac{FD}{DB}=1$$


Bài 4. Có $n$ lá thứ và $n$ phong bì đã ghi sẵn địa chỉ.Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá tứ được cho đúng địa chỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-10-2011 - 20:07

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 tungc3sp

tungc3sp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-02-2012 - 18:27

Mình thấy bài 3 vòng 1 khá quen thuộc. Có nhiều cách giải, đơn giản nhất là biến đổi tương đương, cm:
VT lớn hơn hoặc bằng (a+b+c)3
(Cuối cùng ra bất dẳng thức Schur với n=1)
Đây là đề lớp mấy? dành cho cả thành phố hay khối không chuyên?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-02-2012 - 18:43

tungk45csp




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh