Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển chuyên Thái Bình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 23-10-2011 - 15:41

Nguồn: MathScope.org

Mới chỉ có ngày 2, nếu ai có ngày 1 mọi người cứ post lên.

Bài 1: Cho $a,b,c> 0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\dfrac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\dfrac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\ge 4$$

Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f$ từ $[0,1]$ vào $R$ thỏa mãn với mọi $x\in [0,1]$ ta đều có: $f(x)\ge 2xf(x^2)$

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố $p>2$ thỏa mãn tồ tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho
$$x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$$

Bài 4: Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong tại $K$, $(O')$ nằm trong $(O)$. Gọi $A$ là điểm thuộc $(O)$ sao cho $A,O,O'$ không thẳng hàng. Vẽ các tiếp tuyến $AD,AE$ tới $(O')$ ($D,E$ là tiếp điểm), chúng cắt $(O)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Giả sử $AO'$ cắt $(O)$ tại $F$. Chứng minh rằng $KF,BC$ và $DE$ đồng quy.

Bài 5: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm $A_1,A_2,...,A_n$. Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho tồn tại bộ số thực $(r_1,r_2,...,r_n)$ thỏa mãn 2 tính chất sau:
i, Không có 3 điểm nào thẳng hàng trong số $n$ điểm trên.
ii, Với mỗi bộ $(i,j,k)$ bất kì trong đó $1\le i<j<k\le n$ thì tam giác $A_iA_jA_k$ có diện tích là $r_i+r_j+r_k.$

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 23-10-2011 - 19:08

Nguồn: MathScope.org


Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố $p>2$ thỏa mãn tồ tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho
$$x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$$

Ta có

$ x^{p}+y^{p}\equiv x+y(modp)$
Mà $ x^{p}+y^{p}\vdots p\Rightarrow x+y\equiv 0(modp)$
$ x\equiv -y(modp)$
Lại có
$ x^{p}+y^{p}=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+.......-xy^{p-2}+y^{p-1})$
$ p-1$ chẵn
$ \Rightarrow x^{p}+y^{p}\equiv (x+y)py^{p-1}\equiv 0(modp^{2})$
Theo willson ta có
$ (p-1)!+1\vdots p\Rightarrow (p-1)!\equiv -1(modp)$
$ \Rightarrow p((p-1)!)^{p}\equiv -p(modp^{2})\Rightarrow $vô lí


#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-10-2011 - 19:30

Ta có

$ x^{p}+y^{p}\equiv x+y(modp)$
Mà $ x^{p}+y^{p}\vdots p\Rightarrow x+y\equiv 0(modp)$
$ x\equiv -y(modp)$
Lại có
$ x^{p}+y^{p}=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+.......-xy^{p-2}+y^{p-1})$
$ p-1$ chẵn
$ \Rightarrow x^{p}+y^{p}\equiv (x+y)py^{p-1}\equiv 0(modp^{2})$
Theo willson ta có
$ (p-1)!+1\vdots p\Rightarrow (p-1)!\equiv -1(modp)$
$ \Rightarrow p((p-1)!)^{p}\equiv -p(modp^{2})\Rightarrow $vô lí

Đây cũng chính là câu 2 ngày 1 của đề thi chọn đội tuyển TPHCM đi thi HSG quốc gia năm ngoái :closedeyes:
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 25-10-2011 - 19:54

Ngày 1 đây:
Bài 1: (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}2(y^3-x^3)=6x^2+7x-y+3 & & \\ 2\sqrt{3-y}+\sqrt{2(1+y)}=\sqrt{\dfrac{9}{4}x^2+4}& & \end{matrix}\right.$$

Bài 2: (4 điểm)
Cho dãy số ${u_n}$ xác định bởi $u_0=1; u_1=2$
$$u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$$
Tìm cồng thức tổng quát của dãy. Xác định tất cả các giá trị của $n$ để $u_n-1$ là số chính phương.

Bài 3: (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm $f,g$ xác định và nhận các giá trị trên tập số thực thoả mãn $\left | f(y)-f(x) -g(x)(x-y)\right |\le M\left | x-y \right |^{2+a}$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ ( $M;a$ là các số thực dương cho trước)

Bài 4: (5 điểm)
Cho 2 đường tròn $(O_1);(O_2)$ ngoài nhau. Kẻ tới 2 đường tròn 1 tiếp tuyến chung trong và 1 tiếp tuyến chung ngoài với tiếp điểm $A,B\in(O_1)$ và $C,D\in(O_2)$. Chứng minh rằng $AB$ cắt $CD$ tại 1 điểm thuộc $O_1O_2$.

Bài 5: (2 điểm)
Trong 1 giải đấu có n cầu thủ thi đấu theo gình thức gặp nhau đôi một ( không có trận hoà). Gọi $A_i; B_i$ lần lượt là số trận thắng, trận thua của cầu thủ $i$, Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^n A_i^2= \sum_{i=1}^n B_i^2$

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#5 nhatt1k25cht

nhatt1k25cht

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-09-2016 - 17:27

File gửi kèm  hình ngày 2.doc   31K   81 Số lần tải



#6 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-09-2016 - 15:23

Bài 2: (4 điểm)
Cho dãy số ${u_n}$ xác định bởi $u_0=1; u_1=2$
$$u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$$
Tìm cồng thức tổng quát của dãy. Xác định tất cả các giá trị của $n$ để $u_n-1$ là số chính phương.
 

Ta có công thức tổng quát của dãy là

$u_n= \frac{1}{2} )(2 + \sqrt{3})^n + \frac{1}{2}(2-\sqrt{3})^n $ 

Ta sẽ chứng minh $n$ lẻ thỏa YCBT

Thật vậy, ta có 

$(2+\sqrt{3})^n +(2-\sqrt{3})^n -2 = 2k^2$

Xét $n$ lẻ thì ta sẽ chọn $k = (\frac{(\sqrt{3}+1)^n}{2^{\frac{n+1}{2}}} )^2 - (\frac{(\sqrt{3}-1)^n}{2^{\frac{n+1}{2}}} )^2 $

Dễ chứng minh $k$ nguyên 

Do đó ta có đpcm 

Còn với $n$ chẵn thì ta có pt lúc sau sẽ có dạng $3x^2=2k^2 $

Dễ thấy cái này chỉ có nghiệm $(0,0)$

Do đó $n=0 $ và $n $ lẻ thỏa YCBT



#7 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 08-09-2016 - 22:38

Bài 3: Thay đổi vai trò của $x, y$ ta có $\left | f(x)-f(y)+g(y)(x-y) \right |\leq M\left | x-y \right |^{2+a} \Rightarrow \left | (x-y)(g(x)-g(y)) \right |\leq \left | f(x)-f(y)+g(y)(x-y) \right |+\left | f(y)-f(x)-g(x)(x-y) \right |\leq 2M\left | x-y \right |^{2+a} \Rightarrow \left | g(x)-g(y) \right |\leq 2M\left | x-y \right |^{1+a}$.

Với $x>y$, $n$ là số nguyên dương tuỳ ý, chọn $\partial = \frac{x-y}{n}$. Ta có:

$\left | g(x)-g(y) \right |\leq \sum_{k=0}^{n-1}\left | g(x+k\partial )-g(x+(k+1)\partial ) \right |\leq Mn\partial ^{1+a}=M(x-y)\partial ^a$

Lấy giới hạn ta dễ có $\left | g(x)-g(y) \right |=0$ suy ra $g(x)$ là hàm hằng: $g(x)=C$.

Vậy $\left | (f(y)-Cy)-(f(x)-Cx) \right |\leq M\left | x-y \right |^{2+a}$. Chứng minh tương tự ta có $f(x)-Cx$ là hàm hằng: $f(x)=Cx+D$

($C, D$ là hằng số)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 08-09-2016 - 23:58


#8 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 09-09-2016 - 13:08

Bài 3 : Nếu $p|x \Rightarrow p|y$ vô lí  . bằng FLT cho $p|x+y$
Do đó $p \not \mid x,y$ 
Có $v_p(x^p+y^p)=v_p(x+y)+v_p(p) \ge 2$ vô lí 
vậy pt vô nghiệm



#9 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1392 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:DS [ÒwÓ]

Đã gửi 09-09-2016 - 20:06

Bài hệ sử dụng pp quen thuộc.

Từ phương trình (1) ta có: $2y^3+y=2(x+1)^3+(x+1)$.

Dễ dàng chứng minh hàm $f(t)=2t^3+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Suy ra : $y=x+1$.

Ta giải phương trình: $2\sqrt{2-x}+\sqrt{2(x+2)}=\sqrt{\frac{9}{4}x^2+4}$.

Điều kiện: $-2\leq x\leq 2$.

Dùng bình phương 2 vế, ta được: $x=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

Vậy nghiệm phương trình: $(x;y)=(\frac{4\sqrt{2}}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}+1)$.


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#10 JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:Manga, Music

Đã gửi 09-09-2016 - 23:03

Bài 5: Gọi $S_{XYZ}$ là diện tích tam giác $XYZ$.Dễ thấy với $n=3,4$ thì thoả mãn đề bài. Ta sẽ chứng minh với $n=5$ thì không thoả mãn để bài. Giả sử $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ là $5$ điểm thoả mãn đề bài, xét $T$ là $1$ bao lồi của $5$ điểm đó:

- Nếu $T$ là $1$ tam giác, giả sử là tam giác $A_1A_2A_3$ thì lúc đó $A_4,A_5$ nằm trong tam giác đó, do vậy $S_{A_1A_2A_4}+S_{A_1A_3A_4}+S_{A_3A_2A_4}=S_{A_1A_2A_5}+S_{A_1A_3A_5}+S_{A_3A_2A_5}=S_{A_1A_2A_3}$. Lại có $S_{A_1A_2A_5}-S_{A_1A_2A_4}=S_{A_1A_3A_5}-S_{A_1A_3A_4}=S_{A_3A_2A_5}-S_{A_3A_2A_4}=r_5-r_4$ nên $r_5=r_4$, hay $S_{A_1A_2A_5}-S_{A_1A_2A_4}=S_{A_1A_3A_5}-S_{A_1A_3A_4}=S_{A_3A_2A_5}-S_{A_3A_2A_4}=r_5-r_4=0$, nên $A_4A_5$ song song với cả 3 đoạn $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1$(vô lí)

-Nếu $T$ là $1$ tứ giác, giả sử là $A_1A_2A_3A_4$ thì lúc đó $A_5$ nằm trong $1$ trong $2$ tam giác $A_1A_2A_3$ hoặc $A_4A_3A_2$. Giả sử $A_5$ nằm ngoài $A_1A_2A_3$, lúc đó $A_4,A_5$ nằm cùng phía bờ $A_2A_3$, khác phía $A_1$. $2$ điểm đó cũng nằm cùng phía với $A_2$ bờ $A_1A_3$ và $A_3$ bờ $A_2A_1$ nên $S_{A_1A_2A_4}+S_{A_1A_3A_4}-S_{A_3A_2A_4}=S_{A_1A_2A_5}+S_{A_1A_3A_5}-S_{A_3A_2A_5}=S_{A_1A_2A_3}$. Lập luận tương tự cũng có $A_4A_5$ song song với cả $3$ cạnh tam giác $A_1A_2A_3$, vô lí.

-Nếu $T$ là ngũ giác $A_1A_2A_3A_4A_5$ ,xét vị trí các điểm $A_4,A_5$ với tam giác $A_1A_2A_3$ cũng có điều vô lí

Vậy $n=5$ không thoả mãn. Với $n>5$, ta chỉ cần xét $5$ điểm bất kì trong $n$ điểm đó để suy ra điều vô lí. 

Vậy $n=3$ hoặc $n=4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 10-09-2016 - 06:23





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh