$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:39
title fixed
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:39
title fixed
Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$
Sửa lại đề là $n \in \mathbb{N}$ và $n> 1$
-------------------------------------------------------
Trước hết, ta cần chứng minh $e< \left (\frac{k+1}{k} \right )^{k+\frac{1}{2}}$ (1) (với mọi $k \in \mathbb{N^*}$)
Xét hàm $f(x)=\ln \left (\frac{x+1}{x} \right )-\frac{2}{2x+1}$ trên $\left [1;+\infty \right )$.
$f(x)$ liên tục trên $\left [1;+\infty \right )$ và ta có :
$f'(x)=\frac{-1}{x(x+1)(2x+1)^2}< 0$ với mọi $x \in \left [1;+\infty \right )$
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$
$\Rightarrow f(x)> 0$ với mọi $x \in \left [1;+\infty \right )$
$\Rightarrow \ln \left (\frac{k+1}{k} \right )> \frac{2}{2k+1}$ với mọi $k \in \mathbb{N^*}$
$\Rightarrow \left (\frac{k+1}{k} \right )^{k+\frac{1}{2}}> e$ hay $e< \left (\frac{k+1}{k} \right )^{k+\frac{1}{2}}$ (1) (với mọi $k \in \mathbb{N^*}$)
Bây giờ trở lại bài toán.
Điều phải chứng minh tương đương với $n!.e^{n-1}< n^{n+\frac{1}{2}}$ (2)
+ Với $n=2$, (2) đúng.
+ Giả sử (2) đúng khi $n=k\geqslant 2 \Rightarrow k!.e^{k-1}< k^{k+\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow (k+1)!.e^{k-1}< (k+1).k^{k+\frac{1}{2}}$ (3)
Nhân (1) và (3), vế với vế $\Rightarrow (k+1)!.e^k< (k+1)^{k+\frac{3}{2}}$.
Vậy (2) cũng đúng khi $n=k+1$
+ Theo nguyên lý quy nạp, (2) đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn $1$, tương đương với điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-11-2016 - 19:20
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh