Chủ đề này có 3 trả lời

[NguyThang khtn]

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia tỉnh Thái Bình

Bài 1: Cho $a,b,c> 0$ và$abc=1[$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(3a-1)^2}{2a^2+1}+\dfrac{(3b-1)^2}{2b^2+1}+\dfrac{(3c-1)^2}{2c^2+1}\ge 4[$

Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f$ từ$[0,1]$ vào$R$ thỏa mãn với mọi $x\in [0,1]$ ta đều có: $f(x)\ge 2xf(x^2)$

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố$p>2$ thỏa mãn tồ tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^p+y^p=p[(p-1)!]^p$

Bài 4: Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong tại $K$, $(O')$ nằm trong $(O)$. Gọi $A$ là điểm thuộc$(O)$ sao cho $A,O,O'$ không thẳng hàng. Vẽ các tiếp tuyến $AD,AE$ tới $(O')$($D,E$ là tiếp điểm), chúng cắt $(O)[$ lần lượt tại $B$ và$C$. Giả sử $AO'$ cắt$(O)$tại$F$. Chứng minh rằng $KF,BC$và$DE$ đồng quy.

Bài 5: Trên mặt phẳng cho $n$ điểm $A_1,A_2,...,A_n$. Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho tồn tại bộ số thực $(r_1,r_2,...,r_n)$ thỏa mãn 2 tính chất sau:
i, Không có 3 điểm nào thẳng hàng trong số $n$ điểm trên.
ii, Với mỗi bộ $(i,j,k)$ bất kì trong đó $1\le i<j<k\le n$ thì tam giác $A_iA_jA_k$ có diện tích là $r_i+r_j+r_k.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 23-10-2011 - 19:38

[Zaraki]

Chém bài 3 trước hấy


Giả thiết phản chứng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho
$$x^p+y^p=p \left[ (p-1)! \right]^p \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $x^p-x \ \vdots \ p, \ y^p-y \ \vdots \ p$. Từ đó:
$$x+y \equiv x^p+y^p \pmod{p}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
Từ $(1)$ suy ra $x^p+y^p \ \vdots \ p$, nên từ $(2)$ đi đến $x+y \equiv 0 \pmod{p}$, hay
$$x \equiv -y \pmod{p} \ \ \ \ \ \ \ (3)$$
Do $p$ lẻ, nên theo hằng đẳng thức quen biết, ta có:
$$x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^2-...-xy^{p-2}+y^{p-1}.$$
Do $p$ lẻ nên $p-1$ chẵn và từ $(3)$ suy ra
$$x^p+y^p \equiv (x+y)(y^{p-1}+y^{p-1}+...+y^{p-1}) \pmod{p^2}$$
$$\equiv p(x+y)y^{p-1} \pmod{p^2}.$$
Do $x+y \equiv 0 \pmod{p} \rightarrow x+y \ \vdots \ p$, từ đó ta có:
$$x^p+y^p \ \vdots p^2.$$
Dựa vào $(1)$ suy ra $p \left[ (p-1)! \right]^p \ \vdots \ p^2$, tức
$$\left[ (p-1)! \right]^p \ \vdots \ p. \ \ \ \ \ (4)$$
Từ $(4)$ suy ra điều vô lí vì $(p-1)! \not\vdots p$. Chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Ta có đpcm.

[Zaraki]

À mà quên mất. Cái đề này em đã post rồi anh ạ.

[tungc3sp]

Bai 3 o trong de de nghi thi Olimpic 30 thang 4 nam 2011