Chủ đề này có 90 trả lời

[NLT]

Bài 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}xy = x + y - z\\yz = 3(y - x + z)\\zx = 2(x - y + z)\end{array} \right.$

Mình là thành viên mới, mình có một cách giải của bài toán này như sau, mong các bạn cho ý kiến :


$\left\{ \begin{array}{l}
xy = x + y - z\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
yz = 3(y - x + z)\,\,(2) \\
zx = 2(x - y + z)\,\,(3) \\
\end{array} \right.$

Dễ thấy, nếu xyz=0 thì:
* x=0 => x=y=z=0 hoặc x=0;y=z=6
* y=0 => x=y=z=0 hoặc x=z=4;y=0
* z=0=> x=y=z=0 hoặc x=y=2;z=0
Với xyz khác 0, ta có :

\[
(1) \to z = x + y - xy\,
\]
thế vào (2),(3) ta đc:

\[
\begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow y(x + y - xy) = 3(y - x + x + y - xy) \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,xy + y^2 - xy^2 = 6y - 3xy \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,y(y - xy - 6 + 4x) = 0 \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,y - xy + 4x = 6(vi`\,y \ne 0)\,\,\,\,\,(2') \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\end{array}
\]
Bằng việc làm tương tự như trên, ta cũng thế giá trị của z vào (3) và khi đó, ta được phương trình (3'):

\[
x - xy + 3y = 4(3')
\]
Lấy (2') trừ (3') vế theo vế và biến đổi ta được :

\[
y = \frac{{3x - 2}}{2}
\]
Thế giá trị y vừa tìm được vào 1 trong 2 phương trình(2') và (3'), ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn x hoặc ẩn y, mình làm theo ẩn x và tìm được 2 giá trị của x là \[
\frac{7}{3}
\] và 2 nhưng loại đi giá trị x=2 vì từ đó suy ra y=2 & z=0. Vậy, kết luận, pt có 5 nghiệm (x;y;z)=(0;6;6);(4;0;4);(2;2;0)\[
(0;0;0);(\frac{7}{3};\frac{5}{2}; - 1)
\];
......................
Mình đã đọc cách giải của bạn Phạm Quang Toàn và thấy cách giải đó khá độc đáo, và mình đã cố gắng tìm ra một cách giải khác, đồng ý là không hay bằng cách của bạn Toàn, nhưng mình thường hay cố gắng tìm một những lời giải khác nhau và qua bài toán này, mình xin đưa ra bài toán tổng quát sau

giải hệ phương trình:\[
\left\{ \begin{array}{l}
a_1 xy = b_1 x + \,c_1 y + \,d_1 z) \\
a_2 yz = b_2 y + c_2 x + \,d_2 z) \\
a_3 xz = \,b_3 x + c_3 y + d_3 z) \\
\end{array} \right.
\]

(Với \[ a_i ,b_i ,c_i ,d_i \, \in \,R;\,(i = \overline {1,3} )\] )

............
Có thể nâng lên nhiều nữa nhưng kế tiếp bài toán của bạn Huy là vấn đề trên mình nêu ra.... Mong các bạn cho ý kiến . tks nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 28-02-2012 - 18:22

[tolaphuy10a1lhp]

ok, ai post cũng đc, có thêm nhiều vấn đề để trao đổi mà

Mình có đề ST này. thay Huy post cho các bạn làm tạm
Bộ đề số 5 (120')

1) Rút gọn biểu thức:
$\sqrt {14 + 6\sqrt 5 } + \sqrt[3]{{38 - 17\sqrt 5 }}$

2) Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + y + z}} = \frac{1}{2}\\
\frac{1}{y} - \frac{1}{{x + y + z}} = \frac{1}{5}\\
\frac{1}{z} - \frac{1}{{x + y + z}} = \frac{1}{{10}}
\end{array} \right.$

3) a) Cho $\begin{array}{l}
x + y \ge 8;y \ge 3\\
CMR: 27{x^2} + 10{y^3} \ge 945
\end{array}$

b) Cho $a + b = c + d$
CMR : ${c^2} + {d^2} + cd \ge 3ab$

4) Chứng minh rằng phương trình : ${p^4} + {q^4} = {r^4}$
không có nghiệm trong tập hợp các số nguyên tố.

5) Các đường chéo của một tứ giác nội tiếp trong đường tròn ABCD cắt nhau tại E; các điểm K và M là trung điểm các cạnh AB và CD; L và N là hình chiếu của E lên các cạnh BC và AD
. Chứng minh KM vuông góc LN.

6) Trong một kỳ thi HSG có m > 1 thí sinh và giải n > 1 bài toán . Tất cả các thí sinh đã giải một số lượng khác nhau các bài toán. Tất cả các bài toán đều được giải bởi một số lượng thí sinh khác nhau. Chứng minh rằng có một thí sinh giải đúng một bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 05-03-2012 - 23:45

[hangel_elf]

Bài 4:
Trước hết,nhận xét thấy lũy thừa bậc 4 của số nguyên khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.Từ phương trình ban đầu suy ra:
-Cả $q^{4}$ và $p^{4}$ đều chia hết cho 4.Vì p,q là số nguyên tố nên p=q=2.Không thỏa mãn
-Trong 2 số có 1 số chia hết cho 4,một số chia 4 dư 1.Giả sử p chia hết cho 4.Vì p nguyên tố nên p=2.
Ta còn: $16+q^{4} =r^{4}$.
Nhận xét lũy thừa bậc 4 chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.Mà 16 chia 3 dư 1,nên $q^{4}$ phải chia hết cho 3.=>q=3.Nghiệm p=2;q=3 không thỏa mãn.Vậy phương trình vô nghiệm trên tập hợp số nguyên tố

[NLT]

Áp dụng ĐL lớn fermat vào bài 4 thôi, không cần chứng minh j` cả, hok chỉ là đối vs số nguyên tố, mà đối vs mọi số nguyên khác 0 nữa kìa

[minhtuyb]

3) a) Cho $\begin{array}{l}
x + y \ge 8;y \ge 3\\
CMR: 27{x^2} + 10{y^3} \ge 945
\end{array}$

b) Cho $a + b = c + d$
CMR : ${c^2} + {d^2} + cd \ge 3ab$

Xin chém câu BĐT :
a.Áp dụng BĐT AM-GM, có;
$27x^2+675\geq 2\sqrt{27x^2.675}=270x$
$10y^3+270+270\geq 3\sqrt[3]{10y^3.270^2}=270y$
Cộng vế với vế ta có: $27x^2+10y^3+1215\geq 270(x+y)\geq 270.8=2160\Rightarrow 27x^2+10y^3\geq 945<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $x=5;y=3$
b. Có:
$c^2+d^2+cd=(c+d)^2-cd\geq (c+d)^2-\frac{(c+d)^2}{4}=\frac{3(c+d)^2}{4}=\frac{3(a+b)^2}{4}\geq \frac{3.4ab}{4}=3ab<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$

[nthoangcute]

Post này cực kì buồn, mình làm bài 1 này:
_____________________________________

[ToanHocLaNiemVui]

BỘ ĐỀ SỐ 3

Bài 3: Cho pt ẩn x, a là tham số:

${x^4} + 2{x^2} + 2ax + {(a + 1)^2} = 0$

Tìm giá trị min và max trong các nghiệm của pt và a tương ứng.

Mình xem sơ qua hình như chưa ai làm, mình xin phép "bem":
G/s: $x=x_{0}$ là nghiệm của PT, khi đó ta viết PT đã cho thành PT bậc 2 ẩn a:
$a^{2}+2(x_{0}+1)a+x_{0}^{4}+2x_{0}^{2}+1=0$
Để tồn tại a thì PT (*) phải có nghiệm hay:
$\Delta'=(x_{0}+1)^{2}-2(x_{0}^{2}+1)^{2}\geq 0$.
$\Leftrightarrow (x_{0}^{2}+x_{0}+2)(x_{0}-x_{0}^{2})\geq 0$.
$\Leftrightarrow 0\leq x_{0}\leq 1$.
Từ đó: $Min_x=x=x_{0}=0 \Leftrightarrow a=-1$
$Max_x=x=x_{0}=1 \Leftrightarrow a=-2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 17-03-2012 - 22:08

[ducthinh26032011]

Hệ phương trình bài 2 vô nghiệm phải không nhỉ?

[henry0905]

Tài liệu ôn tập và bồi dưỡng HSG 9
 Bo de thi HSG lop 9.pdf   12.98MB   2625 Số lần tải
 www.MATHVN.com-BD-HSG-Toan9.rar   185.08K   324 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 03-06-2012 - 00:12

[baonguyen97]

Bộ đề số 3

Bài 6: Giải hệ pt:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{(x + 1)^3} + {(y + 1)^3} = 35\end{array} \right.$

$xy + x + y = 6$
$\leftrightarrows (x+1)(y+1)=6$
$\leftrightarrows (x+1)^{3}(y+1)^{3}=216$
Đặt $a=(x+1)^{3}$
$b=(y+1)^{3}$
a và b là nghiệm của phương trình: $X^{2}-35X+216=0$
Từ đó giải được hệ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baonguyen97: 07-06-2012 - 11:47

[giapvansu]

Bài 3: Điều kiện$x\geq 1;x\leq 13$
a) Min
Áp dụng BĐT $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$
Dấu "="; xảy ra khi ab=0
Áp dụng ta được$A\geq \sqrt{x-1+13-x}=2\sqrt{3}$
Dấu "="; xảy ra khi x= 1 hoặc x =13
Max
Áp dụng BĐT cauchy-Schwarz
$A^2=(\sqrt{x-1} +\sqrt{13-x})^2 \leq (1+1)(x-1-x+13)=24 \Rightarrow A \leq 2\sqrt{6}$
Dấu "="; xảy ra khi x = 7
Ngoài 2 cách mình nêu trên đây các bạn còn có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm min, max hoặc bình phương 2 vế
b) Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz
$B^2\leq (1+1+1)(4(a+b+c)+9)=75 \Rightarrow B\leq \sqrt{75}=5\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi a= b=c=$\dfrac{4}{3}$

Bạn học định thức cấp 2 chưa nhỉ. Nếu học rồi thì bài 6 này giải quyết rất đơn giản.

Bài 6 theo mình hoàn toàn có thể làm theo phương pháp biến đổi quen thuộc trong hệ mà các bạn HS lớp 9 đã được học một cách khá đơn giản
m sẽ nói qua bài 1 một chút, bài còn lại hoàn toàn tương tự
Từ pt thứ nhất ta có thể tính được $x=\frac{1+\left | y \right |}{3}$ rồi thế vào pt thứ hai của hệ
$5\frac{1+\left | y \right |}{3}+3y=11\Leftrightarrow 5\left|y\right|+9y=28$
Đến đây mọi việc trở nên đơn giản rồi phải không nào!
Chúc bạn học tốt!

[Tamlun]

bạn đưa đề thi học sinh giỏi cấp huyện lên đi

[Mai Xuan Son]

Áp dụng ĐL lớn fermat vào bài 4 thôi, không cần chứng minh j` cả, hok chỉ là đối vs số nguyên tố, mà đối vs mọi số nguyên khác 0 nữa kìa

Định lí lớn fermat là cả 1 công trình mà bạn,đây là THCS vô thi ghi là áp dụng đl lớn Fermat thì có mà 0 điểm

[Zaraki]

BỘ ĐỀ SỐ 4

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $({x^2} - y)(x - 2y + 1) = (x - 1){(x - y)^2}$

Ta có $$pt \Leftrightarrow 2x^2-x(3y+y^2)+3y^2-y=0.$$
Để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta_x$ là số chính phương. Do đó $$\begin{aligned} \Delta_x & =(3y+y^2)^2-4 \cdot 2 \cdot (3y^2-y) \\ & = y^4+6y^3-15y^2+8y \\ & = y(y-1)^2(y+8) \end{aligned}$$
là số chính phương khi $y(y+8)$ chính phương. Đặt $y^2+8y=a^2 \Rightarrow (y+4)^2=a^2+16 \Rightarrow (y+4-a)(y+4+a)=16$ với $a \in \mathbb{N}$. Dễ nhận thấy $y+4-a \le y+4+a$ và $y+4-a,y+4+a$ có cùng tính chẵn lẻ nên ta sẽ xét các TH sau:

• TH1: $\begin{cases}y+4+a=8 \\ y+4-a=2 \end{cases} \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=1$.
• TH2: $\begin{cases}y+4+a=4 \\ y+4-a=4 \end{cases} \Rightarrow y=0 \Rightarrow x=0$.
• TH3: $\begin{cases}y+4+a=-2 \\ y+4-a=-8 \end{cases} \Rightarrow y=-9 \Rightarrow (x-21)(x-6)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} xx=21 \\ x=6 \end{array} \right.$
• TH4: $\begin{cases} y+4+a=-4 \\ y+4-a=-4 \end{cases} \Rightarrow y=-8 \Rightarrow (x-10)^2=0 \Leftrightarrow x=10$.

Vậy phương trình có nghiệm $$\boxed{(x,y)=(1,1),(0,0),(21,-9),(6,-9),(10,-8)}$$

[AnnieSally]

Bài 6: Giải các hệ phương trình:
1. $\left\{ \begin{array}{l} 3x - \left| y \right| = 1 \\ 5x + 3y = 11 \\ \end{array} \right.$
Chia thành 2 truờng hợp y<0 và y$\geq$0

[datcoi961999]

BỘ ĐỀ SỐ 1

Bài 1:
2. Giải phương trình: $(x^2 - 2x - 15)\sqrt {16 - x^2 } = 0$(1)
 

ĐK: $-4\leq x\leq 4$
(1)=>$(x-5)(x+3)\sqrt{16-x^2}=0$

=>(1) có 3 nghiệm $-3,-4,4$

[i love math so much]

Câu 1:1đRút gọn biểu thức  A=  \frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left [ \sqrt{(1+x)^{3}} \right\sqrt{(1-x)^{3}} ]}{2+1\sqrt{1-x^{2}}}$

 

Câu 2:2đCHo phương trình: $x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+1=0$

a) giai phương trình trên với m=1/($\dpi{120} \frac{1}{2(3-2\sqrt{2})}$

b) tìm m để phương trình có 2 nghiệm x$x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}=x_{1}x_{2}+6x_{2}^{2}$

 

Câu 3: 3đ CHo hàm số y=$\frac{-1x^{2}}{2}$ 

a) vẽ đồ thị (p) của hàm số

b) trên (p) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là -2 và -1. Viết phương trình đường thẳng MN

c) Xác định hàm số y= ax+b biết rằng đồ thị d của nó song song với đường thằng MN và chỉ giao với (p) tại một điểm duy nhất

 

Câu 4: 1đ CHo hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy(x+1)(y+1)=12 & & \\ x+y+x^{2} +y^{2} =8 & & \end{matrix}\right.$

 

Cầu 5: 1đ Giải phương trình $2014x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2014} +x^{2} = 2013.2014$

 

Câu 6:' 2đ Cho đường tròn (O,R) nội tiếp hình thang ABCD (AB// CD) với E ,F,G,F theo thứ tự là tiếp điểm  của (O,R) với các cạnh AB,BC,CD,DA

 

a) Chứng minh: EB.GC=GD.EA từ đó tính tỉ số EB/EA biết AB=4R/3 và BC=3R

 

Câu 7: CHo a,b,c là các thực dương chứng minh rằng

$\dpi{120} \frac{3a^{3}+7b^{3}}{2a+3b}+\frac{3b^{3}+7c^{3}}{2b+3c}+\frac{3c^{3}+7a^{3}}{2c+3a} \geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) -(ab+bc+ca)$

 

                       Để thi này cực hay và cũng rất khó mong mọi người thử sức cùng mình. MỌi người giải chi tiết giùm mình với nha!!!!!!!!!

[Trang Luong]

đặt a=2014

PT$\Leftrightarrow 2014x^{4}+x^{4}.\sqrt{x^{2}+2014}+x^{2}+2014=2014^{2}\Leftrightarrow ax^{4}+x^{4}.\sqrt{x^{2}+a}+x^{2}+a-a^{2}=0$

$\Leftrightarrow x^{4}(\sqrt{x^{2}+a}+a)+(\sqrt{x^{2}+a}+a)(\sqrt{x^{2}+a}-a)=0\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+a}+a)(x^{4}+\sqrt{x^{2}+a}-a)\Leftrightarrow x^{4}+\sqrt{x^{2}+a}-a=0$(do a>0)

[Trang Luong]

 

Câu 4: 1đ CHo hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}xy(x+1)(y+1)=12 & & \\ x+y+x^{2} +y^{2} =8 & & \end{matrix}\right.$

 

Ta có : $\left\{\begin{matrix} xy(x+1)(y+1)=12 & & \\ x+y+x^{2}+y^{2}=8 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x+1)y(y+1)=12 & & \\ x(x+1)+y(y+1)=8 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $x(x+1)=a,y(y+1)=b$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=12 & & \\ a+b=8 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=6 & & \end{matrix}\right.$ hoặc ngược lại

[Quang Minh BG]

làm thế nào để dowload tài liệu trên VMF về máy hả các bạn