Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: Nếu $\left ( I+AB \right )$ khả nghịch thì $\left ( I+BA \right )$ cũng khả nghịch

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
messicbn

messicbn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 28-12-2011 - 21:15


#2
NhatRio

NhatRio

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
Dự đoán : $D^{-1}=I-BC^{-1}A$ với $ C=I+AB; D=I+BA.$
Thật vậy:
$D(I-BC^{-1}A)=D-(I+BA)BC^{-1}A=D-(BC^{-1}A+BABC^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+B(C-I)C^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+BCC^{-1}A-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Mặt khác:
$(I-BC^{-1}A)D=D-BC^{-1}A(I+BA)=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}ABA)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}(C-I)A)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}CA-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Do đó:
$D^{-1}=I-BC^{-1}A$ và $D=I+BA$ khả nghịch.
Xem rồi cho mình ý kiến nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatRio: 31-10-2011 - 19:32


#3
Vani

Vani

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Dự đoán : $D^{-1}=I-BC^{-1}A$ với $ C=I+AB; D=I+BA.$
Thật vậy:
$D(I-BC^{-1}A)=D-(I+BA)BC^{-1}A=D-(BC^{-1}A+BABC^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+B(C-I)C^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+BCC^{-1}A-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Mặt khác:
$(I-BC^{-1}A)D=D-BC^{-1}A(I+BA)=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}ABA)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}(C-I)A)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}CA-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Do đó:
$D^{-1}=I-BC^{-1}A$ và $D=I+BA$ khả nghịch.
Xem rồi cho mình ý kiến nhé!

làm sao mà mình dự đoán được hả anh? không lẽ phải học thuộc hả anh? :(

#4
cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Đây là 1 cách chứng minh khá tự nhiên từ sách.(không phải mình)
Phản chứng I+BA không khả nghịch
Tồn tại vector X sao cho (I+BA)X=0
X=-BAX
Y=AX
X=-BY (Y khác O)
(I+AB)Y=Y+ABY=Y+AB(AX)=Y-AX=O
I+AB không khả nghịch.Mâu thuẫn giả thiết.
vậy I+BA khả nghịch.:)

#5
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Cách giải này có chổ này cần giải thích thỏa đáng Cường à!

Đó là tại sao $Y\neq O$?

.....................
Trong quá trình tìm hiểu bài toán này tôi cũng đã góp nhặt thêm một công cụ giải quyết bài này. Đó là bài toán sau:

Cho ma trận vuông A, B. CMR: $\det (I+AB)=\det (I+BA)$

Bài này đã đưa lên diễn đàn rồi. Các bạn tìm qua đó thảo luận nhé! hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 10:33

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6
cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Cách giải này có chổ này cần giải thích thỏa đáng Cường à!

Đó là tại sao $Y\neq O$?

.....................
Trong quá trình tìm hiểu bài toán này tôi cũng đã góp nhặt thêm một công cụ giải quyết bài này. Đó là bài toán sau:

Cho ma trận vuông A, B. CMR: $\det (I+AB)=\det (I+BA)$

Bài này đã đưa lên diễn đàn rồi. Các bạn tìm qua đó thảo luận nhé! hi

Ô anh.Y là vector Y mà.Y khác O vì X khác O mà anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 10:29


#7
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Nếu giải thích rằng: Vì $X\neq O$ mà suy ra $Y=AX\neq O$ là chưa đủ cơ sở. Phải tìm thêm lời giải thích mạnh hơn. hi

Ví dụ:

Với $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ và $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ thì $Y=AX=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 09:12

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8
cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Nếu giải thích rằng: Vì $X\neq O$ mà suy ra $Y=AX\neq O$ là chưa đủ cơ sở. Phải tìm thêm lời giải thích mạnh hơn. hi

Ví dụ:

Với $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ và $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ thì $Y=AX=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Nếu Y=0 thì lập tức X bằng 0 mà anh.
Mong anh đưa ra nhiều nhận xét hơn. :).Các bài trước nữa.Em làm rồi đó.anh có kết quả anh post trao đổi đi. :).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 01-02-2013 - 09:20


#9
cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!

Hôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.:D

#10
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Khẳng định sau có đúng không? Hãy chứng minh khẳng định của bạn.

Cho ma trận $A$ cấp $n\times m$ và ma trận $B$ cấp $m\times n$. Nếu ma trận $I_{n}-AB$ khả nghịch thì ma trận $I_{m}-BA$ khả nghịch

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-02-2013 - 15:49

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#11
1414141

1414141

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết

Hôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.:D

vẫn là sử dụng tính chất 2 đa thức đặc trưng của 2 ma trận hoán vị là một
Tôi đang thay đổi !

#12
khangtran

khangtran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Ta có : 

$det \begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & AB + I \end{pmatrix} = det (I + AB)$

 

Mặc khác:

$det\begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & BA + I \end{pmatrix} = det ( I + BA)$

 Nên $det (I + AB) = det(I + BA)$

Suy ra $I + AB$ khả nghịch






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh