Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 28-12-2011 - 21:15
Chứng minh rằng: Nếu $\left ( I+AB \right )$ khả nghịch thì $\left ( I+BA \right )$ cũng khả nghịch
#1
Đã gửi 25-10-2011 - 17:07
#2
Đã gửi 31-10-2011 - 19:23
Thật vậy:
$D(I-BC^{-1}A)=D-(I+BA)BC^{-1}A=D-(BC^{-1}A+BABC^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+B(C-I)C^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+BCC^{-1}A-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Mặt khác:
$(I-BC^{-1}A)D=D-BC^{-1}A(I+BA)=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}ABA)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}(C-I)A)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}CA-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Do đó:
$D^{-1}=I-BC^{-1}A$ và $D=I+BA$ khả nghịch.
Xem rồi cho mình ý kiến nhé!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatRio: 31-10-2011 - 19:32
#3
Đã gửi 25-12-2012 - 23:04
làm sao mà mình dự đoán được hả anh? không lẽ phải học thuộc hả anh?Dự đoán : $D^{-1}=I-BC^{-1}A$ với $ C=I+AB; D=I+BA.$
Thật vậy:
$D(I-BC^{-1}A)=D-(I+BA)BC^{-1}A=D-(BC^{-1}A+BABC^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+B(C-I)C^{-1}A)$
$=D-(BC^{-1}A+BCC^{-1}A-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Mặt khác:
$(I-BC^{-1}A)D=D-BC^{-1}A(I+BA)=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}ABA)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}(C-I)A)$
$=D-(BC^{-1}A+BC^{-1}CA-BC^{-1}A)=D-BA=I$
Do đó:
$D^{-1}=I-BC^{-1}A$ và $D=I+BA$ khả nghịch.
Xem rồi cho mình ý kiến nhé!
#4
Đã gửi 01-02-2013 - 01:09
Đây là 1 cách chứng minh khá tự nhiên từ sách.(không phải mình)Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!
Phản chứng I+BA không khả nghịch
Tồn tại vector X sao cho (I+BA)X=0
X=-BAX
Y=AX
X=-BY (Y khác O)
(I+AB)Y=Y+ABY=Y+AB(AX)=Y-AX=O
I+AB không khả nghịch.Mâu thuẫn giả thiết.
vậy I+BA khả nghịch.
#5
Đã gửi 01-02-2013 - 07:47
Đó là tại sao $Y\neq O$?
.....................
Trong quá trình tìm hiểu bài toán này tôi cũng đã góp nhặt thêm một công cụ giải quyết bài này. Đó là bài toán sau:
Cho ma trận vuông A, B. CMR: $\det (I+AB)=\det (I+BA)$
Bài này đã đưa lên diễn đàn rồi. Các bạn tìm qua đó thảo luận nhé! hi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 10:33
- cuong148 yêu thích
#6
Đã gửi 01-02-2013 - 08:30
Ô anh.Y là vector Y mà.Y khác O vì X khác O mà anhCách giải này có chổ này cần giải thích thỏa đáng Cường à!
Đó là tại sao $Y\neq O$?
.....................
Trong quá trình tìm hiểu bài toán này tôi cũng đã góp nhặt thêm một công cụ giải quyết bài này. Đó là bài toán sau:
Cho ma trận vuông A, B. CMR: $\det (I+AB)=\det (I+BA)$
Bài này đã đưa lên diễn đàn rồi. Các bạn tìm qua đó thảo luận nhé! hi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 10:29
#7
Đã gửi 01-02-2013 - 09:10
Ví dụ:
Với $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ và $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ thì $Y=AX=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 09:12
#8
Đã gửi 01-02-2013 - 09:17
Nếu Y=0 thì lập tức X bằng 0 mà anh.Nếu giải thích rằng: Vì $X\neq O$ mà suy ra $Y=AX\neq O$ là chưa đủ cơ sở. Phải tìm thêm lời giải thích mạnh hơn. hi
Ví dụ:
Với $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ và $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ thì $Y=AX=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Mong anh đưa ra nhiều nhận xét hơn. .Các bài trước nữa.Em làm rồi đó.anh có kết quả anh post trao đổi đi. .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 01-02-2013 - 09:20
#9
Đã gửi 05-02-2013 - 10:27
Hôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp. Với I là ma trận đơn vị. CMR : Nếu (I + AB) khả nghịch thì (I + BA) cũng khả nghịch!
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.
- 1414141 yêu thích
#10
Đã gửi 07-02-2013 - 15:45
Cho ma trận $A$ cấp $n\times m$ và ma trận $B$ cấp $m\times n$. Nếu ma trận $I_{n}-AB$ khả nghịch thì ma trận $I_{m}-BA$ khả nghịch
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-02-2013 - 15:49
#11
Đã gửi 14-06-2014 - 19:19
vẫn là sử dụng tính chất 2 đa thức đặc trưng của 2 ma trận hoán vị là mộtHôm qua em mới đọc được bài này với 1 cách chứng minh khác:
Giả sử phản chứng (I+BA) không khả nghịch det(BA+I)=0
BA nhân giá trị riêng -1
AB và BA cùng tập giá trị riêng
AB cũng nhận giá trị riêng -1
det(AB+I)=0 vậy AB+I không khả nghịch.
Awesome!!!.
#12
Đã gửi 13-03-2019 - 18:21
Ta có :
$det \begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & AB + I \end{pmatrix} = det (I + AB)$
Mặc khác:
$det\begin{pmatrix} I & B\\ -A & I \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} I & B\\ O & BA + I \end{pmatrix} = det ( I + BA)$
Nên $det (I + AB) = det(I + BA)$
Suy ra $I + AB$ khả nghịch
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh