Chủ đề này có 6 trả lời

[Zaraki]

Vòng 1 (180 phút)

Bài 1 (3 điểm). Giải hệ:
$$\begin{cases} x^2+y^2-2x-2y+1=0 \\ x(x-2y+2)=-1 \end{cases}$$

Bài 2 (3 điểm). Tìm hệ số của số hạng $x^{10}$ trong khai triển của $(1+x+x^2+x^3)^{15}$.

Bài 3 (3 điểm). Cho đa giác bảy cạnh đều $ABCDEFG$.
Chứng minh: $\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AD}$.

Bài 4 (3 điểm). Cho các số thực $x,y,z \in [0,1]$.
Chứng minh: $x^2+y^2+z^2 \le x^2y+y^2z+z^2x+1$.

Bài 5 (4 điểm). Cho phương trình $x^{2n}-3x+2=0$ (1) trong đó $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1.
1. Chứng minh rằng ứng với mỗi $n$, (1) có đúng một nghiệm $x_n \in [0,1]$.
2. Gọi $(x_n)$ với $n=2,3,4,...$ là dãy số có được theo trên. Chứng minh rằng dãy số đơn điệu và bị chặn.

Bài 6 (4 điểm). Cho hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ có cạnh bằng 1; $M$ là điểm di động trên đường chéo $BD_1$ của hình lập phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA+MD$.

---------------------------

Vòng 2 (180 phút)


Bài 1 (4 điểm). Ngũ giác đều $ABCDE$ có cạnh bằng 1 có tâm là $O$. Phép quay tâm $O$ với góc quay $\varphi$ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác $A_1B_1C_1D_1E_1$. Tính diện tích phần chung $S$ của hai ngũ giác theo $\varphi$. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

Bài 2 (4 điểm). Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} (x+y)^3=z \\ (y+z)^3=x \\ (z+x)^3=y \end{cases}$$.

Bài 3 (4 điểm). Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn $-1$.
Chứng minh:
$$\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+x+y^2} \ge 2$$.

Bài 4 (4 điểm). Cho các dãy số $\{a_n\}, \{b_n\}$ với $n=0,1,2,3...$ thỏa các điều kiện sau:
i) $a_0=b_0=1$;
ii) $a_{n+1}=a_n+b_n$ với mọi $n \in \mathbb N$;
iii) $b_{n+1}=3a_n+b_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}$
1. Tìm công thức tổng quát của $a_n, b_n$.
2. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực $k$ sao cho $n|k.a_b-b_n|<2$ với mọi $n$.

Bài 5 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:[0;+\infty) \to [0;+\infty)$ thỏa $f(f(x))+7f(x)=18x$ với mọi $x \ge 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-10-2011 - 19:42

[tuithichtoan]

Bài 3: (Vòng 2)
Có $x;y;z>-1\Rightarrow 1+y> 0$
Áp dụng BĐT AM_GM có:
$\dfrac{1+x^{2}}{1+y+z^{2}}\geq \dfrac{1+x^{2}}{1+z^{2}+\dfrac{1+y^{2}}{2}}\geq \dfrac{2(1+x^{2})}{2(1+z^{2})+(1+y^{2})}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại.
Đặt $a=1+x^{2}; b=1+y^{2}; c=1+z^{2}$
Ta cần phải chứng minh:
$\dfrac{2a}{b+2c}+\dfrac{2b}{c+2a}+\dfrac{2c}{a+2b}\geq 2$
Hay $\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}\geq 1$
Có $\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b}$
$=\dfrac{a^{2}}{a(b+2c)}+\dfrac{b^{2}}{b(c+2a)}+\dfrac{c^{2}}{c(a+2b)}$
$\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)}$
$=\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}\geq 1$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 26-10-2011 - 22:28

[Didier]

Bài 4 ( vòng 1)
${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + 1$
$ \Leftrightarrow x^{2}(y-1)+xz^{2}+1+y^{2}z-y^{2}-z^{2}\geq 0$
ta có$ f(x)=x^{2}(y-1)+xz^{2}+1+y^{2}z-y^{2}-z^{2}$
ta có $ f(x)\geq min{f(0),f(1)}$
$ f(0)=1+y^{2}z-y^{2}-z^{2}=(1-z)(1+z-y^{2})\geq 0$(luôn đúng)
$ f(1)=y+y^{2}z-y^{2}=y(1+yz-y)\geq 0$(luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức trên luôn đúng
Bài hệ giả sử $x \ge y \ge z$ là xong.

Mod: Bạn Didier gõ cẩn thận hơn và viết hoa đầu dòng nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26-10-2011 - 23:44

[khanh3570883]

Bài 2: (vòng 2)
Giả sử $x \ge y \ge z$, ta có:
$\begin{array}{l}
x \ge z \Rightarrow {\left( {y + z} \right)^3} \ge {\left( {x + y} \right)^3} \Rightarrow z \ge x\\
\Rightarrow x = z \Rightarrow x = y = z
\end{array}$

$x \ge z \ge y$, ta có:
$\begin{array}{l}
x \ge y \Rightarrow {\left( {y + z} \right)^3} \ge {\left( {z + x} \right)^3} \Rightarrow y \ge x\\
\Rightarrow x = y \Rightarrow x = y = z
\end{array}$

Vậy ta có:
$8{x^3} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = z = 0\\
x = y = z = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\\
x = y = z = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 2 }}
\end{array} \right.$

[vietfrog]

Vòng 1 (180 phút)

Bài 1 (3 điểm). Giải hệ:
$$\begin{cases} x^2+y^2-2x-2y+1=0 \\ x(x-2y+2)=-1 \end{cases}$$

Câu đầu mà không ai chém à?
Ta có hệ tương đương:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\\
{x^2} - 2xy + 2x + 1 = 0
\end{array} \right.\]
Lấy (1) trừ (2) :
$$\begin{array}{l}
\Rightarrow {y^2} + 2xy - 4x - 2y = 0\\\Leftrightarrow y(y + 2x) - 2(2x + y) = 0\\\Leftrightarrow (y + 2x)(y - 2) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 2x = 0\\y = 2\end{array} \right.\end{array}$$
* Với $y=2$ thay vào pt thứ 2 suy ra $x=1$.
Thử lại thấy đúng.
* Với $y+2x=0$
Ta thấy pt (1) tương đương:${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} \le 1\\
{\left( {y - 1} \right)^2} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 2\\
0 \le y \le 2
\end{array} \right.$$
Suy ra:$2x + y \ge 0$ . Dấu = không xảy ra. ( Đỡ phải thay )
Vậy $x=1;y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26-10-2011 - 23:47

[Crystal]

Bài 5 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:[0;+\infty) \to [0;+\infty)$ thỏa $f(f(x))+7f(x)=18x$ với mọi $x \ge 0$. (1)

Ta có: VT của (1) là một hàm tuyến tính nên ta giả sử tồn tại hàm số: $f\left( x \right) = ax + b,\,x \ge 0$

Thay vào (1) ta được: $$a\left( {ax + b} \right) + b + 7\left( {ax + b} \right) = 18x \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 7a} \right)x + ab + 8b = 18x$$

Đồng nhất hệ số: $\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + 7a = 18\\
ab + 8b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + 7a - 18 = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
b = 0\\
a = - 8
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 9\\
b = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Suy ra: $f\left( x \right) = 2x\,\,\, \vee \,\,\,\,f\left( x \right) = - 9x$. Thấy 2 hàm số này thỏa (1). Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = 2x\,;\,f\left( x \right) = - 9x$.

[Didier]

---------------------------

Vòng 2 (180 phút)

Bài 4 (4 điểm). Cho các dãy số $\{a_n\}, \{b_n\}$ với $n=0,1,2,3...$ thỏa các điều kiện sau:
i) $a_0=b_0=1$;
ii) $a_{n+1}=a_n+b_n$ với mọi $n \in \mathbb N$;
iii) $b_{n+1}=3a_n+b_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}$
1. Tìm công thức tổng quát của $a_n, b_n$.
2. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực $k$ sao cho $n|k.a_b-b_n|<2$ với mọi $n$.

Pt(3)
Ta có $ b_{n+1}=3a_{n}+b_{n}=2a_{n}+a_{n+1}(theo (2))$
Thay vào (2)có $ a_{n+1}= +2a_{n-1}+ =2a_{n}+2a_{n-1}$
Đến đây sử dụng$ (1)$và pt đặc trưng để giải
anh xusint cho hỏi bài trên của anh nếu dùng phương pháp ấy thì hình như phải chứng minh là 2 hàm duy nhất tm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 27-10-2011 - 12:59