Đến nội dung

Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 4: ALPHA - GAMMA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 49 trả lời

#1
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Đúng 0h ; đề nghị 2 đội trưởng post đề vào Topic này ( hôm nay PSW có việc đột xuất nên giờ đó không ngồi PC được :) )

Mình nhắc lại là mình rất khó chịu với sự chuẩn bị của 3 đội khác ngoài Gama ; cả 3 đội này thường nộp đề trễ và nộp không kèm đáp án :) . Trong khi mình đã nhắc nhở chuyện này rất nhiều lần :) . Hi vọng lần sau các đội nghiêm túc hơn :)

Đây là đề thi của Gama :

Câu 1 :

Cho các số thực dương $ a ; b ; c $ thoả : $ abc =1 $

Chứng minh
$a^{4} + b^{4}+ c^{4} + a^2+b^2+c^2 + a+b+c \ge \dfrac{2}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} + \dfrac{2}{c^2} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Câu 2 : Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$

$ AB \ne AC$ ;đường cao $AH$ ; hạ $HK$ vuông góc $AC$ tại $K$

$BK$ cắt trung trực $BC$ tại $M$ ; $AM$ cắt trung trực $AC$ tại $N$

Chứng minh $ HN\left | \right |BM$

Câu 3 : Tính tổng :

$ S = \sum _{k=1}^{2012}\left [ \dfrac{\sqrt{8k+1}-1}{2} \right ]$

Câu 4 :
Cho tam giác $ABC$ ; trung tuyến $AM$ ; phân giác $AN$ ; đường thẳng qua $N$ ; vuông góc $NA$ cắt $MA ; AB$ tại $Q ; P$
Từ $P$ kẻ đường vuông góc $BA$ ; cắt $NA $ tại $O$

Chứng minh rằng $ OQ $ vuông góc $ BC$

Câu 5 :

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N^{*}} \to \mathbb{N^{*}}$ thoả mãn các điều kiện :

$1/ f(2) = 2$

$2/$Với các số nguyên dương tuỳ ý $m ; n$ nguyên tố cùng nhau thì $ f(mn ) = f(m) \cdot f(n)$

$3/$ $f$ tăng nghiêm ngặt

Câu 6 :

Tìm tất cả các số tự nhiên $ n \ge 3$ thoả mãn :

Trên mặt phẳng tồn tại tập hợp $M$ gồm $n$ điểm ; với mỗi điểm thuộc $M$ sẽ có đúng 2 điểm khác thuộc $M$ có khoảng cách đến nó là 1 .Hơn nữa ; khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc $M$ không vượt quá $1$

Còn đây là đề Alpha :

File gửi kèm

  • File gửi kèm  alpha.doc   30K   360 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-04-2012 - 16:01

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
hxthanh đội GAMA Thay mặt đồng đội giải câu 3 của Alpha

Câu 3 THPT: Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{2n^2}{n+1} >\sum\limits_{k=1}^n \left(\sum\limits_{j=1}^k \dfrac{j^2-\dfrac{1}{2}}{j^4+\dfrac{1}{4}}\right)>\dfrac{3n}{8}$


Mình nghĩ đề bài như thế này sẽ vui hơn :D

Câu 3 THPT: Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{n^2}{n+1}>\sum\limits_{k=1}^n \left(\sum\limits_{j=1}^k \dfrac{j^2-\dfrac{1}{2}}{j^4+\dfrac{1}{4}}\right)\ge \dfrac{2n}{5}$


Ta có:

$\dfrac{j^2-\dfrac{1}{2}}{j^4+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4j^2-2}{4j^4+1}=\dfrac{4j^2-2}{(2j^2+2j+1)(2j^2-2j+1)}=\dfrac{j^2}{j^2+j+\dfrac{1}{2}}-\dfrac{(j-1)^2}{j^2-j+\dfrac{1}{2}}$

Lấy tổng từ $j=1$ đến $j=k$ ta được:

$S_k=\sum\limits_{j=1}^k \dfrac{j^2-\dfrac{1}{2}}{j^4+\dfrac{1}{4}} = \dfrac{k^2}{k^2+k+\dfrac{1}{2}}$

Với $1\le k\le n$, ta có:

$\dfrac{2}{5}\le \dfrac{k^2}{k^2+k+\dfrac{1}{2}} <\dfrac{k^2}{k^2+k}=\dfrac{k}{k+1}\le\dfrac{n}{n+1}$

Do đó ta có:

$\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{2}{5} \le \sum\limits_{k=1}^n S_k<\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{n}{n+1}$

hay

$\dfrac{3n}{8}<\dfrac{2n}{5} \le \sum\limits_{k=1}^n S_k < \dfrac{n^2}{n+1}<\dfrac{2n^2}{n+1}$
--------------------------------
:D

PSW : 7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:16


#3
NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Đúng 0h ; đề nghị 2 đội trưởng post đề vào Topic này ( hôm nay PSW có việc đột xuất nên giờ đó không ngồi PC được :) )

Mình nhắc lại là mình rất khó chịu với sự chuẩn bị của 3 đội khác ngoài Gama ; cả 3 đội này thường nộp đề trễ và nộp không kèm đáp án :) . Trong khi mình đã nhắc nhở chuyện này rất nhiều lần :) . Hi vọng lần sau các đội nghiêm túc hơn :)

Đây là đề thi của Gama :

Câu 1 :

Cho các số thực dương $ a ; b ; c $ thoả : $ abc =1 $

Chứng minh
$a^{4} + b^{4}+ c^{4} + a^2+b^2+c^2 + a+b+c \ge \dfrac{2}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} + \dfrac{2}{c^2} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$


NGOCTIEN_A1_DQH đội ALPHA xin giải bài 1 đội GAMA:

sử dụng DK abc=1,BDT đã cho tương đương với:

$ a^4+b^4 +c^4+a^2+b^2+c^2+a+b+c \geq 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+ab+bc+ca $ (1)

đặt $ a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r=1 $
ta có các đẳng thức sau:
$ a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr $

$ a^2+b^2+c^2=p^2-2q $

$ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr $
khi đó, BDT (1) trở thành:

$ p^4-4p^2q+2q^2+4p+p^2-2q+p \geq 2q^2-4p+q $

$ \leftrightarrow p^4-4p^2q+9p-3q+p^2 \geq 0 $ (*)

mặt khác, ta có BDT schur dưới dạng p,q,r như sau:

$ r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9} $

hay với r=1 thì:

$ p(4q-p^2) \leq 9 $

$ \rightarrow -p^2(4q-p^2) \geq -9p $

áp dụng BDT trên ta có

$ VT(*)=-p^2(4q-p^2)+9p-3q+p^2 \geq -9p+9p-3q+p^2=p^2-3q $

bdt cần chứng minh sẽ đúng nếu ta cm được $ p^2-3q \geq 0 $

hay $ (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) $

đây là điều hiển nhiên đúng nên ta có dpcm, dấu = xảy ra khi a=b=c=1

ở bài này có sử dụng BDT schur mà không chứng minh, nếu cần thiết thì mình cũng sẵn sàng ghi ra ở đây

PSW : tuy Schur không có trong chương trình THCS nhưng nó có trong rất nhiều sách và cách cm nó cũng dễ hiểu ( nếu bậc là số nguyên dương ) ; do đó ; không cần cm lại :)



PSW : Lời giải này tự nhiên hơn lời giải đáp án; Tốt :)

6/6 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-12-2011 - 23:23

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Vậy là được rồi! :)

#5
h.vuong_pdl

h.vuong_pdl

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1031 Bài viết
đề nghị trọng tài psw và đội gama xem lại các bài ra của mình. Nên viết rõ mức độ, phần nào của các bài tập để đội bạn có cơ sở dùng kiến thức phù hợp.

Cảm ơn !

rongden_167


#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Đây là đề thi của Gama :

Câu 1 - THCS

Cho các số thực dương $ a ; b ; c $ thoả : $ abc =1 $

Chứng minh
$a^{4} + b^{4}+ c^{4} + a^2+b^2+c^2 + a+b+c \ge \dfrac{2}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} + \dfrac{2}{c^2} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Câu 2 - THCS

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$

$ AB \ne AC$ ;đường cao $AH$ ; hạ $HK$ vuông góc $AC$ tại $K$

$BK$ cắt trung trực $BC$ tại $M$ ; $AM$ cắt trung trực $AC$ tại $N$

Chứng minh $ HN\left | \right |BM$

Câu 3 - THPT

Tính tổng :

$ S = \sum\limits_{k=1}^{2012}\left\lfloor \dfrac{\sqrt{8k+1}-1}{2} \right\rfloor$


Câu 4 - THPT

Cho tam giác $ABC$ ; trung tuyến $AM$ ; phân giác $AN$ ; đường thẳng qua $N$ ; vuông góc $NA$ cắt $MA ; AB$ tại $Q ; P$
Từ $P$ kẻ đường vuông góc $BA$ ; cắt $NA $ tại $O$

Chứng minh rằng $ OQ $ vuông góc $ BC$

Câu 5 - THPT

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N^{*}} \to \mathbb{N^{*}}$ thoả mãn các điều kiện :

$1/ f(2) = 2$

$2/$Với các số nguyên dương tuỳ ý $m ; n$ nguyên tố cùng nhau thì $ f(mn ) = f(m) \cdot f(n)$

$3/$ $f$ tăng nghiêm ngặt

Câu 6 - Olympiad

Tìm tất cả các số tự nhiên $ n \ge 3$ thoả mãn :

Trên mặt phẳng tồn tại tập hợp $M$ gồm $n$ điểm ; với mỗi điểm thuộc $M$ sẽ có đúng 2 điểm khác thuộc $M$ có khoảng cách đến nó là 1 .Hơn nữa ; khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc $M$ không vượt quá $1$



#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Perfectstrong xin giải bài 1 của đội $\alpha$.
Bài 1: Lời giải:
Ta sử dụng một bổ đề sau: Cho p là số nguyên tố dạng $4k+3$. Điều kiện cần để $a^2+b^2 \vdots p(a;b \in \mathbb{Z})$ là $a \vdots p; b \vdots p$.
Chứng minh bổ đề:
Giả sử a và b không đồng thời chia hết cho p. Ta xét 3 TH:
TH1: $a \vdots p; b \not \vdots p$
$\Rightarrow a^2 \vdots p; b^2 \not \vdots p \Rightarrow a^2+b^2 \not \vdots p$: trái gt.
TH2: $a \not \vdots p; b \vdots p$. Tương tự TH1, TH2 cũng dẫn tới điều trái gt.
TH3: $a \not \vdots p; b \not \vdots p$.
Mà p là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có:
$a^{p-1} \equiv 1 (\bmod p);b^{p-1} \equiv 1 (\bmod p)$
$\Leftrightarrow a^{4k+2} \equiv 1 (\bmod p);b^{4k+2} \equiv 1(\bmod p)$
$\Leftrightarrow (a^2)^{2k+1} \equiv 1 (\bmod p);(b^2)^{2k+1} \equiv 1 (\bmod p)$
$\Rightarrow (a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} \equiv 2 (\bmod p)$
Do p có dạng 4k+3 nên p>2. Suy ra $(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} \not \vdots p$(i)
Lại có: $(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} \vdots a^2+b^2 \vdots p$: mâu thuẫn với (i).
Nên TH3 dẫn tới điều mâu thuẫn.
Vậy điều giả sử là sai. Nên $a \vdots p;b \vdots p$.
============================================
Quay lại bài toán.
4691 là số nguyên tố dạng 4k+3.(*)
$$x^{1994}+y^{1994} = 4691^{4691}(x+y) \text{ }(1)$$
Do (*) nên $x^{1994}+y^{1994} \vdots 4691$.
Áp dụng bổ đề, ta có: $x^{997} \vdots 4691;y^{997} \vdots 4691$
Lại do (*) nên $x \vdots 4691; y \vdots 4691$.
$\Rightarrow x=4691x_2;y=4691y_2(x_2;y_2 \in \mathbb{N}^*)$.
Thay vào phương trình (1), ta thu được:
$$ 4691^{1994}(x_2^{1994}+y_2^{1994})=4691^{4691}.4691(x_2+y_2)$$
$$\Leftrightarrow x_2^{1994}+y_2^{1994}=4691^{2698}(x_2+y_2) \text{ }(2)$$
Lý luận tương tự, ta suy ra $x_2=4691x_3;y_2=4691y_3(x_3;y_3 \in \mathbb{N}^*)$.
Thay vào phương trình (2), ta thu được:
$$ 4691^{1994}(x_3^{1994}+y_3^{1994})=4691^{2698}.4691(x_3+y_3)$$
$$\Leftrightarrow x_3^{1994}+y_3^{1994}=4691^{705}(x_3+y_3) \text{ }(3)$$
Lý luận tương tự, ta suy ra $x_3=4691x_4;y_3=4691y_4(x_4;y_4 \in \mathbb{N}^*)$.
Thay vào phương trình(3), ta thu được:
$$ 4691^{1994}(x_4^{1994}+y_4^{1994})=4691^{705}.4691(x_4+y_4) $$
$$\Leftrightarrow 4691^{1288}(x_4^{1994}+y_4^{1994})=x_4+y_4 \text{ }(4)$$
Do $x_4;y_4 \in \mathbb{N}^* \Rightarrow x_4^{1994}+y_4^{1994} \geq x_4+y_4 >0$
$\Rightarrow 4691^{1994}(x_4^{1994}+y_4^{1994}) > x_4+y_4 $
Nên phương trình (4) vô nghiệm nguyên dương.
Kết luận: phương trình (1) vô nghiệm nguyên dương.

PSW : 6/6 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-12-2011 - 23:10

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Mong đội Alpha ghi đề lên để cho nhìn rõ hơn.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#9
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Àh khoan ; cho mình thông báo cái này : trong đề của Alpha có các thuật ngữ : " góc phần tư thứ i" ; ( câu elipse) ; đây là thuật ngữ không thông dụng và cũng ít dùng
Do đó ; trọng at2i yêu cầu Alpha giải thích kĩ thuật ngữ này cho Gama ; tránh gây hiểu lầm
Trọng tài ko làm chuyện này để tránh bị coi thiên vị :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#10
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
hxthanh đội GAMA xin được giải Câu 4 đội Alpha
[quotename='Đề Alpha']
Câu 4. (THPT) Biện luận theo tham số $a$ số nghiệm của phương trình:
$\log_ax=a^x\;\;(1)$
[/quote]
- Điều kiện tồn tại phương trình (1) là $a\neq 1$.
Khi đó:
- Do $g(x)=\log_ax$ và $f(x)=a^x$ là hai hàm ngược của nhau nên đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
- Số giao điểm của đường thẳng $y=x$ với đồ thị của $f(x)$ cũng chính là số nghiệm của phương trình (1)

Xét trường hợp đường thẳng $y=x$ là tiếp tuyến của đồ thị $f(x)$, khi đó ta có:

$f'(x_0)=a^{x_0}\ln(a)=1\Rightarrow x_0=\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{\ln(a)}\right)}{\ln(a)}$

$\Rightarrow \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{\ln(a)}\right)}{\ln(a)}=x_0=a^{x_0}=\dfrac{1}{\ln(a)}$

$\Rightarrow \ln\left(\dfrac{1}{\ln(a)}\right)=1 \Rightarrow \boxed{a= e^{^{\dfrac{1}{e}}}}$

Từ kết quả trên và dựa vào đồ thị ta kết luận được:
  • $a<e^{^{\dfrac{1}{e}}},\;(a \neq 1) $ : Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
  • $a=e^{^{\dfrac{1}{e}}}$ : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\left(x=e\right)$
  • $a>e^{^{\dfrac{1}{e}}}$ : Phương trình (1) vô nghiệm.
________________________________________

GAMA CỐ LÊN !!!

PSW : 7/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:18


#11
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Thuật ngữ các góc phần tư được nêu ra trong SGK Đại số 10 trang 142.
Bài toán của ALPHA cũng dùng định nghĩa này
  • MIM yêu thích

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#12
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Câu 5 (THPT).

Cho elip $(E):\;\dfrac{(x-20)^2}{20}+\dfrac{(y-11)^2}{11}=2011$. Gọi $S_i\;\;(i=1,2,3,4)$ tương ứng là diện tích các phần của elip nằm ở góc phần tư thứ $i$. Hãy tính giá trị của biểu thức:
$M=S_1+S_3-(S_2+S_4)$.

Dưới đây là lời giải của perfecstrong thành viên của đội GAMA

Xét điểm $I(20;11)$. Ta sẽ chứng minh điểm $I(20,11)$ là tâm đối xứng của Elip (E).
Thật vậy: Giả sử $P(x_0,y_0)$ là một điểm thuộc Elip (E), nghĩa là:

$\dfrac{(x_0-20)^2}{20}+\dfrac{(y_0-11)^2}{11}=2011$

$\Rightarrow \dfrac{((40-x_0)-20)^2}{20}+\dfrac{((22-y_0)-11)^2}{11}=2011$

Do đó điểm $P'(40-x_0,22-y_0)$ cũng thuộc Elip (E). Hơn nữa:
$\overrightarrow{IP}=(x_0-20,y_0-11)=-(20-x_0,11-y_0)=-\overrightarrow{IP'}$

Điều này chứng minh $I(20,11)$ là tâm đối xứng của Elip (E)
Gọi S là diện tích của (E); A,B,C,D,E là diện tích các miền được giới hạn như hình vẽ.
Elipse1.jpg
Theo hình minh hoạ, ta có:
$S_1=\dfrac{S}{4}+A+C+E$
$S_2=\dfrac{S}{4}-A+B$
$S_3=\dfrac{S}{4}-B-C-D$
$S_4=\dfrac{S}{4}-E+D$
Nên $M=S_1+S_3-S_2-S_4$
$=\dfrac{S}{4}+A+C+E+\dfrac{S}{4}-B-C-D-\dfrac{S}{4}+A-B-\dfrac{S}{4}+E-D=2A+2E-2B-2D$
Mà $A=C+D;E=B+C$ nên $M=4C$
C là hình giới hạn bởi đường thẳng $x=0;y=0;x=20;y=11$ nên $S_C=20.11=220$

$\Rightarrow \boxed{M=880}$

PSW : 7/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 24-12-2011 - 13:50


#13
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Thầy nên sửa lại là:
Perfectstrong và hxthanh cùng phối hợp ghi bàn.
:tongue:
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#14
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
E.Galois của ALPHA xin phép được giải câu 3 của GAMA

Tính:$$S = \sum\limits_{k = 1}^{2012} {\left[ {\dfrac{{\sqrt {8k + 1} - 1}}{2}} \right]} $$


Giải

Xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$u_n = \left[ {\dfrac{{\sqrt {8n + 1} - 1}}{2}} \right],\forall n = 1,2,...$$

Với $n = 1$, ta có:
$$u_1 = \left[ {\dfrac{{\sqrt {8.1 + 1} - 1}}{2}} \right] = 1;u_2 = \left[ {\dfrac{{\sqrt {8.2 + 1} - 1}}{2}} \right] = 1$$

Bổ đề: Xét dãy số $(u_n)$ ở trên, với mỗi $n$ cho trước và mọi số tự nhiên k thỏa mãn $\dfrac{{n(n + 1)}}{2} \le k \le \dfrac{{n(n + 1)}}{2} + n$, ta đều có $u_k = n$ (*)

Chứng minh
(*) hiển nhiên đúng với $n = 1$
Đặt
$$f(m) = \dfrac{{\sqrt {8m + 1} - 1}}{2},\forall m = 3,4,...$$

Dễ thấy hàm số $f(m)$ là hàm số đồng biến. Với mọi $n > 1$, ta có:
$$f\left( {\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} \right) < f\left( {\dfrac{{n(n + 1)}}{2} + 1} \right) < ... < f\left( {\dfrac{{n(n + 1)}}{2} + n} \right) < f\left( {\dfrac{{n(n + 1)}}{2} + n + 1} \right)$$

Mặt khác, với mọi $n > 1$ ta cũng có
$$f\left( {\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt {4n(n + 1) + 1} - 1}}{2} = n$$

$$f\left( {\dfrac{{n(n + 1)}}{2} + n + 1} \right) = \dfrac{{\sqrt {4(n + 1)(n + 2) + 1} - 1}}{2} = n + 1$$
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Từ bổ đề ta suy ra, tổng cần tính có $k + 1$ số hạng $k(k = 1, 2, .... 61)$ và 60 số hạng 62. Do đó
$$S = \sum\limits_{k = 1}^{61} {k.(k + 1)} + 60.62 = 83142$$


PSW : 7/7 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-12-2011 - 23:25

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#15
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
[quotename='Đề Alpha"]
Câu 2 (THCS). Cho $(O;R);\;A \in (O)$. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại $A$, lấy điểm $M$ sao cho $MA=R$. Qua $M$ dựng một cát tuyến thay đổi cắt $(O)$ tại $B, C$ ($B$ nằm giữa $M$ và $C$). Tìm vị trí $B, C$ sao cho $S_{ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.
[/quote]
Có vẻ như lời giải sau đây không được THCS lắm! (hxthanh Gama xin giải câu 2 Alpha)
$\boxed{\text{ Lời giải 1 - Lượng Giác}}$

AlphaH2.jpg

Ký hiệu như trong hình vẽ, ta có:

$\widehat{ACB}=\beta$ (cùng chắn cung AB)
Do đó $\triangle{ABM}\sim \triangle{CAM}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{AM}{MC}$

Theo định lý sin ta có: $AB=2R\sin{\beta};\;AC=2R\sin{(\alpha+\beta)};\;BC=2R\sin{(180^{\circ}-(\alpha+2\beta))}=2R\sin{(\alpha+2\beta)}$

Từ đẳng thức trên suy ra:

$\dfrac{MC}{R}=\dfrac{BC+BM}{R}=2\sin{(\alpha+2\beta)}+\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{R}{BM}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\beta}}$

$\Rightarrow 2\sin{(\alpha+2\beta)}+\dfrac{\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\beta}}$

$\Rightarrow 2\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta)}\sin{(\alpha+2\beta)}+\sin^2{\beta}-\sin^2{(\alpha+\beta)}=0$
$\Rightarrow \sin{(\alpha+2\beta)}\left(\sin{\alpha}-\cos{\alpha}-\cos{(\alpha+2\beta)}\right)=0$
$\Rightarrow \cos{(\alpha+2\beta)}=\sin{\alpha}-\cos{\alpha}$
$\Rightarrow \sin{(\alpha+2\beta)}=\sqrt{\sin{2\alpha}}$

Do đó ta có:
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}R\sin{\alpha}.2R\sqrt{\sin{2\alpha}}=R^2.\dfrac{\sqrt{2\tan^3{\alpha}}}{\tan^2{\alpha}+1}$

Với mọi k>0 ta có BĐT: $\dfrac{1}{9}(k-\sqrt{3})^2(9k^2+2\sqrt{3}k+3)\ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{2k^3}{(k^2+1)^2}\le \dfrac{\sqrt{27}}{8}$

Vậy $\max{(S_{ABC})}=R^2.\dfrac{\sqrt[4]{108}}{4}$ Dấu bằng đạt được tại $\tan{\alpha}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha=60^{\circ}$

_______________________________________________

$\boxed{\text{ Lời giải 2 - Toạ độ}}$
Chọn hệ trục toạ độ $xMy$ với gốc $M$ như hình vẽ, ta có:$A(-R,0)$

$(O):\;\;(x+R)^2+(y+R)^2=R^2$ (Pt đtròn (O))
$(m):\;\;y=kx;\;(k>0)$ (Pt đường thẳng qua M có hệ số góc k>0 )

Suy ra
$(O) \cap (m)\Leftrightarrow (x+R)^2+(kx+R)^2=R^2$
$\Rightarrow x_C=\dfrac{R(-k-1-\sqrt{2k})}{k^2+1};\;y_C=\dfrac{kR(-k-1-\sqrt{2k})}{k^2+1};$
$\Rightarrow x_B=\dfrac{R(-k-1+\sqrt{2k})}{k^2+1};\;y_B=\dfrac{kR(-k-1+\sqrt{2k})}{k^2+1};$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|$

$=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{kR^2(k^2+1)}{(k^2+1)^2}+\dfrac{kR^2(-k-1+\sqrt{2k})}{(k^2+1)}-\dfrac{kR^2(k^2+1)}{(k^2+1)^2}-\dfrac{kR^2(-k-1-\sqrt{2k})}{(k^2+1)}\right|$

$=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2kR^2\sqrt{2k}}{k^2+1}\right|=R^2.\dfrac{\sqrt{2k^3}}{k^2+1}$

Đến đây giải tiếp như cách 1
_______________________________________________
Vẫn chưa có lời giải nào thực sự THCS :(

PSW : 5/6 điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 12-02-2012 - 14:38


#16
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
E.Galois của ALPHA xin phép được giải câu 4 của GAMMA

Câu 4 :
Cho tam giác $ABC$ ; trung tuyến $AM$ ; phân giác $AN$ ; đường thẳng qua $N$ ; vuông góc $NA$ cắt $MA ; AB$ tại $Q ; P$
Từ $P$ kẻ đường vuông góc $BA$ ; cắt $NA $ tại $O$
Chứng minh rằng $ OQ $ vuông góc $ BC$

Hình đã gửi


Gọi $L$ là giao điểm của $PQ$ và $AC$. Dễ thấy $N$ là trung điểm $AL$.Từ $P$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AM, AN, AC$ lần lượt tại $I, J, R$.
Do $BM = MC$ và $BC // PR$ nên bằng cách sử dụng định lí Thales, ta chứng minh được $PI=IR$.
Suy ra $IN // AC$ (Do tính chất đường trung bình trong tam giác)
Do $NI // AL$, nên ta có
$$\dfrac{NI}{AL} = \dfrac{IQ}{QA}(1)$$
Mặt khác nhờ tính chất phân giác của $AJ$ nên
$$\dfrac{AL}{AR}= \dfrac{AP}{AR}=\dfrac{PJ}{JR}$$
hay

$$\dfrac{AL}{AR}= \dfrac{PJ}{JR} (2)$$
Nhân theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta có:
$$\dfrac{NI.AL}{AL.AR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}\Leftrightarrow \dfrac{NI}{AR} = \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$$
mà $\dfrac{NI}{AR}= \dfrac{JI}{JR}$ (do $NI // AR$) nên
$$\dfrac{JI}{JR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR} \Leftrightarrow \dfrac{JI}{JP} =\dfrac{ IQ}{QA}$$
Từ đó suy ra $QJ // AP$ mà $PK \perp AP$ nên$ PK \perp QJ$
Vậy $J$ là trực tâm tam giác $QPK$ hay $PR \perp QK$

p/s: GAMA cứ ra đề thế này thì ALPHA giải nghệ mất

PSW : 5/7 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 12-02-2012 - 14:40

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#17
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
@ E.Galois : làm xong bài đó dễ có khi ẵm dc giải Toán thủ xuất sắc đó :))
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#18
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Trọng tài có phần cổ vũ cho Alpha chăng?
Xét thấy, dù sao Bài hình của GAMA cũng thuộc cấp THPT, lời giải cũng không quá phức tạp. So với bài hình của ALPHA ở cấp THCS kìa! Toàn bộ thành viên GAMA xin chào thua!

#19
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Trọng tài không ủng hộ đội nào cả ; nhưng chẳng qua nhìn bác E.Galois vẻ thêm khá đẹp mắt nên khen là chuyện bình thường :)
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#20
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
E.Galois của ALPHA xin giải bài 5 của GAMMA

Câu 5 :
Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N^{*}} \to \mathbb{N^{*}}$ thoả mãn các điều kiện :
$1/ f(2) = 2$
$2/$Với các số nguyên dương tuỳ ý $m ; n$ nguyên tố cùng nhau thì $ f(mn ) = f(m) \cdot f(n)$
$3/$ $f$ tăng nghiêm ngặt

Giả sử tồn tại hàm số $f(n)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do $f$ tăng nghiêm ngặt nên:
$$1 \leq f(1) < f(2) = 2 \Rightarrow f(1) = 1$$
Vì $f(3) > f(2) = 2$ nên $f(3) \geq 3$. Đặt $f(3) = 3 + k, k \in \mathbb{N}$. Khi đó:
$$f(6) = f(2).f(3) = 6+ 2k$$
Như vậy $f(5) \leq 5 + 2k$ và
$$f(10) = f(2).f(5) \leq 10 + 4k $$
Tương tự:
$$f(9) \leq 9 + 4k \Rightarrow f(18) \leq 18 + 8k \Rightarrow f(15) \leq 15 + 8k$$
Mặt khác
$$f(3) = 3 + k; f(5) \geq 5 + k \Rightarrow f(15) = f(3)f(5) \geq (3+k)(5+k)$$
Như vậy ta được
$$(3+k)(k+5) \leq 15 + 8k \Leftrightarrow k^2 \leq 0 \Leftrightarrow k = 0$$
Tức là: $f(3) = 3$

Ta sẽ chứng minh:
$$f(2n+1) = 2n + 1 (*)$$
với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

Thật vậy, với $n =1$, hiển nhiên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với $n \geq 1$, tức là:
$$f(2n+1) = 2n + 1 $$
Khi đó ta có: ta sẽ chứng minh (*) đúng với $n - 1$, tức là
$$f(4n+2) = f(2)f(2n + 1) = 4n + 2$$
Do hàm số $f$ tăng nghiêm ngặt nên nó là đơn ánh. Do đó tập
$$\left \{ f\left ( 2n +2\right );f\left ( 2n+3 \right );...f\left (4n+2 \right ) \right \}$$
gồm $2n+1$ số đôi một khác nhau, sắp xếp theo thứ tự tăng dần, là ảnh của tập gồm $2n+1$ số đôi một khác nhau, sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
$$\left \{ \left ( 2n +2\right );\left ( 2n+3 \right );...\left (4n+2 \right ) \right \}$$.
Ta có:
$$f(2n+i)=2n+i,i \in {2;3;...;2n+2}$$
Tức là:
$$f(2n+1)=2n+1$$
Hay (*) đúng với $n + 1$. Từ đó suy ra (*) đúng với mọi $n$.

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:
$$ 2n - 1 < 2n < 2n +1 $$
nên
$$ 2n-1 = f(2n-1) < f(2n) < f(2n+1) =2n+1$$
Suy ra $f(2n) = 2n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

Vậy $f(n) = n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó hàm số phải tìm là $f(n) = n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

p/s: Gia đình chúng tôi xin chân thành cảm ơn bạn Trần Nguyễn Quốc Cường đã giúp đỡ chúng tôi chỉ ra sai lầm lần trước

PSW : 7/7 điểm ;

không biết có nên trừ bớt điểm vì " bị chỉ bài giúp " không nhỉ ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 18-12-2011 - 23:13

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh