[quotename='Đề của đội ALPHA']
Câu 6 (Olympiad). Cho hình trụ $T_1$. Ta gọi hình trụ $T_2$ là nội tiếp ngang $T_1$ nếu mỗi đáy của $T_1$ chứa đúng $1$ đường sinh của $T_2$ và mặt xung quanh của $T_1$ chứa 4 điểm của đường tròn đáy $T_2$. Hình trụ $T_1$ phải thỏa mãn điều kiện gì để có vô hạn hình trụ $T_1;T_2;...;T_n;...$ mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ đứng trước?
[/quote]
- Gọi $T_i(d_i,l_i)$ là hình trụ $T_i$ có đường kính đáy là $d_i$ và chiều dài đường sinh là $l_i;\;\;(l_i,d_i>0)$
- Chiếu $T_1$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $l_1$ ta được hình tròn (1) đường kính $d_1$
- Do đường sinh của $T_2$ nằm trên 2 đáy của $T_1$ nên $d_2=l_1$. Chiếu $T_2$ lên $(\alpha)$ ta được hình chữ nhật (2) có các cạnh là $d_2$ và $l_2$
- Theo giả thiết mặt xung quanh của $T_1$ chứa 4 điểm của $T_2$, nên hình chữ nhật (2) phải nội tiếp đường tròn (1)
Suy ra $l_2^2+d_2^2=d_1^2\Rightarrow l_2^2+l_1^2=d_1^2\Rightarrow l_1<d_1$
- Vậy để tồn tại $T_2$ nội tiếp ngang $T_1$ thì điều kiện cần là $0<l_1<d_1$
- Từ đó suy ra để tồn tại vô số $T_i$ nội tiếp ngang thoả đề bài thì điều kiện cần và đủ là:
$0<l_2=\sqrt{d_1^2-l_1^2}<d_2=l_1\Leftrightarrow 0<l_1<d_1<\sqrt{2}l_1$
Kết luận: Với $l_1$ là chiều dài đường sinh, $d_1$ là đường kính đáy của hình trụ $T_1$
Điều kiện để có vô hạn hình trụ $T_1;T_2;...;T_n;...$ mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ đứng trước là $\boxed{0<l_1<d_1<\sqrt{2}l_1}$
_____________________________________________
Xin được bổ xung hình vẽ sau!
PSW : 0/8 điểm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-01-2012 - 17:19