Chủ đề này có 5 trả lời

[huou202]

bài 1: cho $a , b , c$ là các số thực dương thỏa mãn
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. C/m
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{9}{a+b+c}$
bài 2 : Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác và $a+b+c=3$.tim min cua
$A= a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{4}{3}abc$
bài 3: Cho $a,b,c$ không âm . C/m:

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$

-------------------------------------------------------
Bạn chú ý gõ $\LaTeX$: công thức toán được đặt giữa cặp dấu:

$công thức$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 05-01-2012 - 10:45

[HÀ QUỐC ĐẠT]

bài 1: cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3. C/m $
$ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{9}{a+b+c}$
bài 2 : Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác và a+b+c=3.tim min cua
$ A= a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{4}{3}abc$
bài 3: Cho a,b,c không âm . C/m:

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$

Bài 3:
BĐT$\Leftrightarrow (a^{2}-2ab-c^{2}+bc+ca)^{2}+(b^{2}-2bc-a^{2}+ac+ab)^{2}+(c^{2}-2ca-b^{2}+ab+bc)^{2}\geq 0$(đúng)
Đăng thức xảy ra khi a=b=c hoặc $(a,b,c)=(ksin^{2}\dfrac{4\pi }{7},ksin^{2}\dfrac{2\pi }{7},ksin^{2}\dfrac{\pi }{7})$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 1:
Từ đk => 3=$a^2+b^2+c^2$$\geq ab+bc+ac$
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ac}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}=\dfrac{3+2(ab+bc+ac)}{ab+bc+ac}=\dfrac{3}{ab+bc+ac}+2\geq \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}+2=3$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Đề bài yêu cầu là chứng minh VT$\geq \dfrac{9}{a+b+c}$ mà

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Ờ hen tường tìm min

Tìm min thì không cần điều kiện$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$,AM-GM 3 số là ra ngay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 30-10-2011 - 11:05

[Didier]

Bài 3:
BĐT$\Leftrightarrow (a^{2}-2ab-c^{2}+bc+ca)^{2}+(b^{2}-2bc-a^{2}+ac+ab)^{2}+(c^{2}-2ca-b^{2}+ab+bc)^{2}\geq 0$(đúng)
Đăng thức xảy ra khi a=b=c hoặc $(a,b,c)=(ksin^{2}\dfrac{4\pi }{7},ksin^{2}\dfrac{2\pi }{7},ksin^{2}\dfrac{\pi }{7})$

bài này là BĐT vasile
$ (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$
bài 2
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{4}{3}abc$
đặt $ a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$
ta có
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dfrac{4}{3}abc=p^{2}-2q+\dfrac{4}{3}r$
$ p^{2}-2q+\dfrac{4}{3}r\geq 9-2q+\dfrac{4(4q-9)}{9}=\dfrac{45-2q}{9}$
lại có $ q\leq \dfrac{p^{2}}{3}=3\Rightarrow \dfrac{45-2q}{9}\geq \dfrac{13}{3}$
vậy min nó là $ \dfrac{13}{3}$ dấu bằng đạt khi $ a=b=c=1$
\Rightarrow đây là tam giác đều cạnh 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 30-10-2011 - 12:44

[KietLW9]

bài 3: Cho $a,b,c$ không âm . C/m:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$

Bài này đúng với mọi số thực $a,b,c$ nhé!

Thật vậy: $4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)]=[(a^3+b^3+c^3)-5(a^2b+b^2c+c^2a)+4(ab^2+bc^2+ca^2)]^2+3[(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)-2(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2\geqslant 0$