Đến nội dung

Hình ảnh

Ứng dụng Chuỗi số giải phương trình vi phân

Toán cao cấp

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Trong giải phương trình vi phân có một số phương trình vi phân rất khó (nếu không muốn nói là không thể) tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp xác định. Điều này cũng xảy ra ngay cả khi các phương trình vi phân có dạng rất đơn giản. Ví dụ như phương trình sau:
$${y}''-2x{y}'+y=0\; \; \left ( 1 \right )$$
Đây là phương trình vi phân cấp hai, hệ số hàm nhưng ta không thể tìm được 1 nghiệm riêng dưới dạng hàm số sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các phương trình như dạng phương trình (1) là rất quan trọng vì nó nảy sinh từ các vấn đề, các bài toán của vật lý, cụ thể, nó liên quan đến phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử. Vì vậy, ta cần thiết phải xây dựng các phương pháp nhằm tìm nghiệm cho các phương trình dạng này. Một trong các phương pháp thông dụng là ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm của phương trình dưới dạng chuỗi lũy thừa:
$$y=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+...+c_{n}x^{n}\; \; \; \left ( 2 \right )$$
Cơ sở Toán học của phương pháp này là ta thay thế biểu thức (2) vào phương trình vi phân và từ đó xác định giá trị của các hằng số $c_{0},c_{1},c_{2},...,c_{n}$ sao cho nó nghiệm đúng phương trình vi phân. Tuy nhiên, việc này chỉ có giá trị khi chuỗi lũy thừa ứng với các hệ số tìm được phải là chuỗi hội tụ.

Ta nhắc lại một số điều thường gặp đối với chuỗi lũy thừa:

Trong khoảng hội tụ của chuỗi, ta có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi, chuỗi mới nhận được (sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân) cũng có bán kính hội tụ như chuỗi ban đầu.


Trước khi sử dụng chuỗi lũy thừa để giải phương trình 1, chúng ta sẽ minh họa phương pháp này bằng một ví dụ đơn giản hơn phương trình (1). Xét phương trình:
$${y}''+y=0\; \; \; \left ( 3 \right )$$
Theo phương pháp sơ cấp, ta đã biết nghiệm của phương trình (3) có dạng:
$$y=C_{1}cosx+C_{2}sinx$$
Bây giờ, sử dụng phương pháp chuỗi số. Ta giả sử nghiệm của phương trình (3) có dạng:
$$y=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+...+c_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\; \; \; \left ( 2 \right )$$
Khi đó, ta có: $${y}''=2c_{2}+2.3c_{3}x+3.4c_{4}x^{2}+...+n\left ( n-1 \right )c_{n}x^{n-2}=\sum_{n=2}^{\infty }n\left ( n-1 \right )c_{n}x^{n-2}\; \; \; \left ( 4 \right )$$
Ta lưu ý: Chỉ số của chuỗi thứ (4) bắt đầu với $n = 2$, do đó để thuận tiện cho việc so sánh các hệ số của $y$ và ${y}''$ được dễ dàng, ta sẽ viết chuỗi (4) với chỉ số bắt đầu với $n = 0$, nghĩa là:
$${y}''=\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}x^{n}\; \; \; \left ( 5 \right )$$
Đây là kỹ thuật quan trọng nhất trong việc sử dụng phương pháp chuỗi số. Sở dĩ, ta làm được việc này là do ta đặt $m = n -2$, hay $n = m + 2$. Khi đó ta có:
$${y}''=\sum_{m=0}^{\infty }\left ( m+1 \right )\left ( m+2 \right )c_{m+2}x^{m}\; \; \; \left ( 6 \right )$$
Khi đó, theo lý thuyết chuỗi số ta có hai chuỗi (5) và (6) là như nhau. Như vậy, ta thế biểu thức (2) và (5) vào phương trình (3) ta có:
$$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=0$$
Hay ta có: $$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}+c_{n} \right )x^{n}=0\; \; \; \left ( 7 \right )$$
Theo phương pháp hệ số bất định, hai chuỗi số muốn bằng nhau thì từng hệ số tương ứng phải bằng nhau. Vì vậy, hệ số của $x^{n}$ ở biểu thức (7) phải bằng $0$, hay:
$$\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}+c_{n}=0$$
Từ đây ta có: $$c_{n+2}=-\dfrac{c_{n}}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}$$
Như vậy, ta có được công thức truy hồi. Do đó:
Với $n=0$ : $$c_{2}=-\dfrac{c_{0}}{1.2}$$
Với $n=1$ : $$c_{3}=-\dfrac{c_{1}}{2.3}$$
Với $n=2$ : $$c_{4}=-\dfrac{c_{2}}{3.4}=\dfrac{c_{0}}{1.2.3.4}=\dfrac{c_{0}}{4!}$$
Với $n=3$ : $$c_{5}=-\dfrac{c_{3}}{4.5}=\dfrac{c_{1}}{2.3.4.5}=\dfrac{c_{1}}{5!}$$
Với $n=4$ : $$c_{6}=-\dfrac{c_{4}}{5.6}=-\dfrac{c_{0}}{4!.5.6}=-\dfrac{c_{0}}{6!}$$
Với $n=5$ : $$c_{7}=-\dfrac{c_{5}}{6.7}=-\dfrac{c_{1}}{5!.6.7}=-\dfrac{c_{1}}{7!}$$
Vì vậy, theo quy luật trên chúng ta có:

Với các hệ số chẵn: $$c_{2k}=\left ( -1 \right )^{k}\dfrac{c_{0}}{\left ( 2k \right )!}$$

Với các hệ số lẻ: $$c_{2k+1}=\left ( -1 \right )^{k}\dfrac{c_{1}}{\left ( 2k+1 \right )!}$$


Do đó, thế vào chuỗi (2) ta có:
$$y=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+...+x_{n}x^{n}=c_{0}\left ( 1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\dfrac{x^{6}}{6!} +...+\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{x^{2n}}{\left ( 2n \right )!}+...\right )+$$
$$+c_{1}\left ( x-\dfrac{x^{3}}{3!} +\dfrac{x^{5}}{5!}-\dfrac{x^{7}}{7!}+...+\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}+...\right )$$
Hay: $$y=c_{0}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{x^{2n}}{\left ( 2n \right )!}+c_{1}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )!}$$
Như vậy, ta có kết quả của phương trình phụ thuộc vào 2 chuỗi số với $c_{0}\; \; và\; \; c_{1}$ là 2 hằng số tùy ý. Và rõ ràng cả hai chuỗi số đều hội tụ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Nhận xét:
  • Nếu chúng ta chú ý các dạng của chuỗi Taylor – Maclaurin, thì hai chuỗi số vừa tìm được ở trên chính là khai triển Maclaurin của hai hàm số $cosx\; \; và\; \; sinx$. Do đó, nghiệm của phương trình sẽ là:
$$y=c_{0}cosx+c_{1}sinx$$
  • Tuy nhiên, thông thường, ít khi nào ta có thể biểu diễn các chuỗi lũy thừa trong công thức nghiệm dưới dạng các hàm số sơ cấp đã biết.
Ví dụ 2:
Ta xét lại phương trình (1):$${y}''-2x{y}'+y=0\; \; \left ( 1 \right )$$
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng:$$y=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$
Khi đó:$${y}'=\sum_{n=1}^{\infty }nc_{n}x^{n-1}\; ;\; \; {y}''=\sum_{n=2}^{\infty }\left ( n-1 \right )nc_{n}x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}x^{n}$$
Giống như ví dụ 1. Thế $y,{y}',{y}''$ vào phương trình, ta có:
$$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}x^{n}-2x\sum_{n=1}^{\infty }nc_{n}x^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=0$$
$$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty }2nc_{n}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=0$$
$$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty }2nc_{n}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=0$$
Hay:$$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( \left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )c_{n+2}-\left ( 2n-1 \right )c_{n} \right )x^{n}=0$$
Do đó:$$\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right){c_{n + 2}} - \left( {2n - 1} \right){c_n} = 0$$
Vậy: $$c_{n+2}=\dfrac{2n-1}{\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}c_{n},\; n=0,1,2,3,...$$
Như vậy, ta có được công thức truy hồi. Do đó:
Với $n=0$ : $$c_{2}=-\dfrac{c_{0}}{1.2}$$
Với $n=1$ : $$c_{3}=\dfrac{c_{1}}{2.3}$$
Với $n=2$ : $$c_{4}=\dfrac{3c_{2}}{3.4}=-\dfrac{3c_{0}}{1.2.3.4}=-\dfrac{3c_{0}}{4!}$$
Với $n=3$ : $$c_{5}=\dfrac{5c_{3}}{4.5}=\dfrac{5c_{1}}{2.3.4.5}=\dfrac{1.5c_{1}}{5!}$$
Với $n=4$ : $$c_{6}=\dfrac{7c_{4}}{5.6}=-\dfrac{3.7c_{0}}{4!.5.6}=-\dfrac{3.7c_{0}}{6!}$$
Với $n=5$ : $$c_{7}=\dfrac{9c_{5}}{6.7}=-\dfrac{1.5.9c_{1}}{5!.6.7}=\dfrac{1.5.9c_{1}}{7!}$$
Với $n=6$ : $$c_{8}=\dfrac{11c_{4}}{7.8}=-\dfrac{3.7.11c_{0}}{6!.7.8}=-\dfrac{3.7.11c_{0}}{8!}$$
Với $n=7$ : $$c_{9}=\dfrac{13c_{5}}{8.9}=-\dfrac{1.5.9.13c_{1}}{7!.8.9}=\dfrac{1.5.9.13c_{1}}{9!}$$
Vậy ta có: $$c_{2n}=-\dfrac{3.7.11...\left ( 4n-5 \right )}{\left ( 2n \right )!}c_{0}\; \; \; ;\; \; \; c_{2n+1}=\dfrac{5.9.13...\left ( 4n-3 \right )}{\left ( 2n+1 \right )!}c_{1}$$
Do đó ta có nghiệm của phương trình:
$$y=c_{0}\left ( 1-\dfrac{1}{2!}x^{2}-\sum_{n=2}^{\infty }\dfrac{3.7.11.\left ( 4n-5 \right )}{\left ( 2n \right )!}x^{2n} \right )+c_{1}\left ( x+\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{5.9.13...\left ( 4n-3 \right )}{\left ( 2n+1 \right )!}x^{2n+1} \right )$$
Nhận xét:
  • Dễ dàng nhận thấy hai chuỗi vừa tìm được hội tụ với mọi $x$.
  • Trong ví dụ này, ta không thể nào biểu diễn hai chuỗi số vừa tìm được thông qua các hàm số sơ cấp đã biết.
Bài tập: Sử dụng phương pháp chuỗi số, giải các phương trình vi phân sau:

Bài 1: ${y}'-y=0$. Đáp số: $y=c_{0}\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n!}=c_{0}e^{x}$
Bài 2: ${y}'=xy$. Đáp số: $y=c_{0}\sum_{n=0}^{\infty }\dfrac{x^{2n}}{2^{n}n!}=c_{0}e^{\dfrac{x^{2}}{2}}$.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Toán cao cấp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh