Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn HSG KHTT 2011-2012 vòng 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 07-11-2011 - 18:39

Vòng 2-Thời gian làm bài 180 Phút
Ngày thi thứ nhất 07/11/2011

Câu I. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau
$x^4+1=2y^2$

$Câu II$]. Với a,b,c là các số nguyên dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng :
$\dfrac{13}{4}.(ab+bc+ca)\leq 1+4abc.\sum\dfrac{a}{(a+1)^2}$
]Câu III. Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. AD giao EF tại J. M,N di chuyển trên (I) sao cho M,J,N thẳng hàng và M nằm về phía nửa mặt phẳng bờ AD có C,N nằm về phía nửa mp bờ AD chứa B. Giả sử DM,DN cắt AC,AB tại P,Q.
a) Giả sử MN cắt PQ tại T.Chứng minh T nằm trên đường thẳng d cố định
b) Tiếp tuyến tại M,N của I cắt nhau tại S.Chứng minh $S\in d$
c) SJ giao BC tại K.Chứng minh $IK\perp TD$

Câu IV. Cho một đa giác lồi 2012 cạnh. Hỏi ta có thể chia đa giác này thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo của nó sao cho không có 2 đường chéo nào cắt nhau ở bên trong đa giác và tại mỗi đỉnh của đa giác ban đầu đều có một số chẵn các đường chéo được vẽ xuất phát từ đỉnh đó? Câu hỏi như trên khi thay 2012 bởi 2013
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-09-2015 - 18:50

Ngày 2

 

Câu 1. Cho dãy số $a_n$ được xác định như sau
$a_1=\dfrac{5}{2}$ và $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+6a_n-3$
 với mọi $n\geq 1$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $[a_n]+1$ chia hết cho $3^{2011}$

Câu 2. Ký hiệu $S=\left \{ x\in R,x>1 \right \}$. Tìm tất cả các  hàm số $f:\mathbb S\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(x^5+y^5)=x^4f(x)+y^4f(y)$

Câu 3. Cho tứ giác lồi $ABCD$ không là hình thang, hai đường chéo không vuông góc nội tiếp $(O)$. $P$ là điểm trên cung $AB$ nhỏ không chứa $C,D$. $PD$ cắt $AC$ tại $M$, $PC$ cắt $BD$ tại $N$. $Q$ là giao điểm khác $P$ của $(APM)$ và $(BPN)$.

1) Chứng minh $PQ$ luôn đi qua điểm $T$ cố định

2) Gọi $AC$ giao $BD$ tại $E$, $I$ là trung điểm $CD$. Chứng minh rằng $E,I,T$ thẳng hàng.

Câu 4. Trên bàn cờ kích thức $p\times p$ (p  là số nguyên tố có dạng $4k+3$), ô ở hàng thứ $i$,cột thứ $j$ kí hiệu là $(i,j)$. Lúc đầu đặt một quân cờ ở (1,1). Biết rằng có thể di chuyển quân cờ theo quy tắc: ở mỗi bước quân cờ đi từ ô $(i_1,j_1)$ sang ô $(i_2,j_2)$ thỏa mãn $(i_1-i_2)^2+(j_1-j_2)^2\equiv 1 \pmod p$. Tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho quân cờ có thể đi từ (1,1) đến bất kì ô nào khác sau không quá $n$ bước.



#3 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 04-08-2017 - 21:31

Em xin phép đào lại topic chút: 

Bài 3 ngày 2:

a/ Gọi $K,L$ là tâm của $(APM), (BPN)$

Ta có $\angle KAM = 90^{\circ} - \angle APD = const => K$ chạy trên đường thẳng cố định

$=>$ Tiếp tuyến tại $A$ của $(APM)$ cố định.

Tương tự ta có tiếp tuyến tại $B$ của $(BPN)$ cố định.

Gọi $T$ là giao 2 tiếp tuyến trên $=>T$ cố định

$=> T$ nằm trên trục đẳng phương của $(APM), (BPN)$ => $PQ$ đi qua $T$ cố định (q.e.d)

b/ Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AC,BD$ tại $X,Y$

Gọi $R$ là giao của $BT$ với $AC$

Theo định lý $Reim$ ta có $ABXY$ là tứ giác nội tiếp.

$=> E(DCXT) = (TXRB) = -1 => E,I,T$ thẳng hàng (q.e.d)

 


HSGS in my heart  :icon12:


#4 long1810khtn

long1810khtn

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HSGS
  • Sở thích:Functional Equation, polynomials,anime

Đã gửi 18-06-2018 - 14:08

EM XIN PHEP LAM CAU HINH NGAY 1 a) gsu ef cat bc tai s1  AS1 cat NM tai T .

ta co AS1 co dinh .

can cm T Q P  thang hang .

xet cuc va doi cuc cua dg tron (I) S1 la cuc cua AD

S1 va J lien hop 

J va A lien hop 

J la cuc cua duong thang qua AS1 

ma JM cat As1 tai T    (TJ,NM)= -1 

D(TJ,NM) = -1 =A(S1D,BC) suy ra dpcm 

b) do s la cuc cua NM 

 nen J la cuc cua duong thang qua S   do do nen S thuoc d 

c ) S T lien hop 

 J T lien hop  do do T K lien hop 

D K lien hop 

K la cuc cua TD  suy ra dpcm 

 em xin loi do may em loi ko danh go dau duoc moi nguoi thong cam aj


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi long1810khtn: 18-06-2018 - 14:21

I LOVE HSGS 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh