Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƯỚC 2011-2012

Thời gian: 180 phút.

Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 8{y^3} - 3{x^2} + 12{y^2} + 3x - 12y = \sqrt {2y - 1} - \sqrt {x - 1} \\
\sqrt {2x} \left( {4{y^2} + 1} \right) = 6y\sqrt {{x^2} + 4y + 1}
\end{array} \right.$$

Câu 2: Gọi ${p_n}$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh phương trình:
$$2011{x^3} = 2n{x^2} + 9n\left( {{p_{n + 1}} + {p_{n + 2}}} \right)x + 1955{n^3}$$
luôn có một nghiệm lớn hơn hoặc bẳng $n$ với mọi $n$ nguyên dương.

Câu 3: Cho dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}$ được xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_n} = 3{u_1} + 3{\left( {n - 1} \right)^3} - {n^3}
\end{array} \right.$.
Chứng minh: $p\,|\,2011\left( {\sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {{u_i}} } \right)$ với mọi số nguyên tố $p$.

Câu 4: Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). M nằm trên cung nhỏ BC .N đối xứng với M qua trung điểm I của AB . H,K là trực tâm ABC và NAB. D,E là hình chiếu của K lên AB,BC.Chứng minh : DE đi qua trung điểm HK.

Câu 5: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}$$

----------------------------HẾT------------------------------

[Nxb]

Câu 4
Ta có:
KA vuông góc với BN, BN // AM => KA vuông góc với AM.Tương tự ta có KB vuông góc với BM
=> K thuộc (O) => DE là đường thẳng Simson của K đối với tam giác ABC, mặt khác H là trực tâm tam giác ABC => đpcm

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 8{y^3} - 3{x^2} + 12{y^2} + 3x - 12y = \sqrt {2y - 1} - \sqrt {x - 1} \\
\sqrt {2x} \left( {4{y^2} + 1} \right) = 6y\sqrt {{x^2} + 4y + 1}
\end{array} \right.$$

câu này không khó lắm
$ PT (1) \leftrightarrow (x-1)^3+\sqrt{x-1} =(2y-1)^3+\sqrt{2y-1} $

xét hàm số $ f(t) = t^6+t (t \geq 0) $

$ f'(t)=6t^5+1>0 $

suy ra $ \sqrt{x-1}=\sqrt{2y-1} $

hay $ x=2y $

tới đây chỉ việc thay vào PT 2 là có thể giải dễ dàng : D

[NGOCTIEN_A1_DQH]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƯỚC 2011-2012

Thời gian: 180 phút.

Câu 3: Cho dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}$ được xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_n} = 3{u_n} + 3{\left( {n - 1} \right)^3} - {n^3}
\end{array} \right.$.
Chứng minh: $p\,|\,2011\left( {\sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {{u_i}} } \right)$ với mọi số nguyên tố $p$.

mình chém luôn câu dãy này

ta biến đổi CT truy hồi của dãy dưới dạng:

$ u_n+n^3=3(u_{n-1}+(n-1)^3) $ (1)

ta xét dãy $ {x_n} $ có:

$ x_1=3, x_n=u_n+n^3 $

khi đó, thay vào CT (1) ta sẽ được:

$ x_n=3x_{n-1} $

$ \leftrightarrow x_n=3^n $

$ \leftrightarrow u_n=3^n-n^3 $

đặt $ S= \left( {\sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {{u_i}} } \right) =3^1+3^2+....+3^{p-1}-(1^3+2^3+...+(p-1)^3) $

$ S =\dfrac{3^p-1}{3-1}-1-\dfrac{(p-1)^2.p^2}{4} $

$ 2S=3^p-3+\dfrac{p^2.(p-1)^2}{2} $

vì p là số nguyên tố nên nếu p | 2S thì p | S

mà $ p| \dfrac{p^2.(p-1)^2}{2} $ nên p| 2S khi $ p| (3^p-3) $

đây là điều hiển nhiên đúng theo định lí Fermat nhỏ nên ta có p| 2S hay p| S suy ra p| 2011S (Q.E.D)

xong

p/s: trong bài này có sử dụng 2 CT sau:

$ 3^0+3^1+3^2+....+3^n=\dfrac{3^{n+1}-1}{3-1} $ (1)

$ 1^3+2^3+.....+n^3=\dfrac{n^2.(n-1)^2}{4} $ (2)

CT (1) là CT cơ bản của CSN

CT (2) có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 08-11-2011 - 21:13