ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƯỚC 2011-2012
Thời gian: 180 phút.
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 8{y^3} - 3{x^2} + 12{y^2} + 3x - 12y = \sqrt {2y - 1} - \sqrt {x - 1} \\
\sqrt {2x} \left( {4{y^2} + 1} \right) = 6y\sqrt {{x^2} + 4y + 1}
\end{array} \right.$$
Câu 2: Gọi ${p_n}$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh phương trình:
$$2011{x^3} = 2n{x^2} + 9n\left( {{p_{n + 1}} + {p_{n + 2}}} \right)x + 1955{n^3}$$
luôn có một nghiệm lớn hơn hoặc bẳng $n$ với mọi $n$ nguyên dương.
Câu 3: Cho dãy $\left\{ {{u_n}} \right\}$ được xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_n} = 3{u_1} + 3{\left( {n - 1} \right)^3} - {n^3}
\end{array} \right.$.
Chứng minh: $p\,|\,2011\left( {\sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {{u_i}} } \right)$ với mọi số nguyên tố $p$.
Câu 4: Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). M nằm trên cung nhỏ BC .N đối xứng với M qua trung điểm I của AB . H,K là trực tâm ABC và NAB. D,E là hình chiếu của K lên AB,BC.Chứng minh : DE đi qua trung điểm HK.
Câu 5: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}$$
----------------------------HẾT------------------------------