$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$
#1
Đã gửi 11-11-2011 - 20:46
$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$
Học latex ở đây nè bạn: http://diendantoanho...showtopic=63583
- HÀ QUỐC ĐẠT yêu thích
#2
Đã gửi 13-11-2011 - 22:06
Bạn đã tính ra $\dfrac{x^3*y+y^3*z+z^3*x}{2xyz}\geq VT$
Vả lại lại tính được $x^3*y+y^3*z+z^3*x\geq 3*x*y*z$ Như vậy $\dfrac{x^3*y+y^3*z+z^3*x}{2xyz}\geq \dfrac{3}{2}$
Như vậy không chắc là VT nhỏ hơn hoặc bằng 3/2. (ở đây bạn đã trừ 2 bdt cùng chiều nên kết quả sai)
Với lại bài này đề là lơn hơn hoặc bằng $\dfrac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 13-11-2011 - 22:07
#3
Đã gửi 13-11-2011 - 22:11
$\dfrac{x^{2}}{y^{2}+1}= x^{2}-\dfrac{x^{2}y^{2}}{y^{2}+1} \geq x^{2}-\dfrac{x^{2}y^{2}}{2y}=x^{2}-\dfrac{x^{2}y}{2}$
CM tuong tu voi 2 hang tu kia roi cong theo ve ta co
$VT\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}-\dfrac{x^{2}y +y^{2}z +z^{2}x}{2} =\dfrac{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-x^{2}y -y^{2}z -z^{2}y}{2}$
can CM $\dfrac{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-x^{2}y -y^{2}z -z^{2}x}{2}\geq \dfrac{3}{2}$
den day ban tu CM nhe!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyentrang97: 14-11-2011 - 19:58
#4
Đã gửi 14-11-2011 - 00:16
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#5
Đã gửi 19-11-2011 - 11:03
Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$$
CM:
$$\dfrac{a}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{b}{c^{2}+a^{2}}+\dfrac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \dfrac{3}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvdoqt: 19-11-2011 - 11:05
#6
Đã gửi 19-11-2011 - 11:47
$PT\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 19-11-2011 - 11:51
- lvdoqt yêu thích
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
#7
Đã gửi 19-11-2011 - 11:53
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#8
Đã gửi 19-11-2011 - 13:42
Nhưng tôi đọc không hiểu nổi, bạn có thể giải thích rõ hơn, thank.Ta có:
$PT\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
#9
Đã gửi 19-11-2011 - 13:48
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#10
Đã gửi 19-11-2011 - 13:51
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
#11
Đã gửi 19-11-2011 - 15:36
Bài giảiXin tiếp 1 bài:
Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$$
CM:
$$\dfrac{a}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{b}{c^{2}+a^{2}}+\dfrac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \dfrac{3}{2}$$
Bất đẳng thức đã cho tương đương
\[\frac{a}{{3 - {a^2}}} + \frac{b}{{3 - {b^2}}} + \frac{c}{{3 - {c^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Mà chú ý rằng
\[\frac{a}{{3 - {a^2}}} \ge \frac{1}{2}{a^2}\]
Như vậy chứng minh xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 19-11-2011 - 21:42
#12
Đã gửi 19-11-2011 - 16:59
Nếu như với lời giải của anh thì $\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\geq \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{9}{2}$
Mà đề bài yêu cầu là chứng minh$\geq \frac{3}{2}$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#13
Đã gửi 19-11-2011 - 20:42
Thực ra là $\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{1}{2}a^2$(1)Anh Hoàng cho em hỏi:
Nếu như với lời giải của anh thì $\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\geq \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{9}{2}$
Mà đề bài yêu cầu là chứng minh$\geq \frac{3}{2}$
Thật vậy $(1)\Leftrightarrow a^3+2 \ge 3a $
Đúng theo $AM - GM$ .
- Ispectorgadget yêu thích
#14
Đã gửi 19-11-2011 - 21:05
Bài này mình đọc thấy hướng giải của bạn huyentrang97 là dúng rồicho $ x, y,z>0$. thoa man $x+y+z=3$ CMR:
$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$
Chỉ còn việc chứng minh BĐT cuối cùng mà thôi:
$$2(x^2+y^2+z^2)-(x^2y+y^2z+z^2x) \ge 3$$
Sử dụng 1 bổ đề quen thuộc sau:
$$x^2y+y^2z+z^2x+xyz \le \frac{4}{27}(x+y+z)^3=4$$
Ta có:
$$VT \ge 2(9-2q)-(4-r) \ge 3$$
Trong đó ký hiệu $r=xyz;q=xy+yz+zx;p=x+y+z=3 \left(0<r \le 1;0<q \le 3 \right)$
Hay:
$$11-4q+r \ge 0$$
Lại áp dụng BĐT Schur bậc 3,ta có:
$$r \ge \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}$$
Nên ta có:
$$11-4q+r \ge 11-4q+\frac{4q-9}{3} \ge VP=3$$
Rút gọn BĐT này,ta thu được điều luôn đúng là $q \le 3$.Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$.Xong.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-11-2011 - 21:06
- perfectstrong, phuonganh_lms, HÀ QUỐC ĐẠT và 1 người khác yêu thích
#15
Đã gửi 19-11-2011 - 21:41
Mình viết nhầm cảm ơn bạn đã chỉnh giúpThực ra là $\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{1}{2}a^2$(1)
Thật vậy $(1)\Leftrightarrow a^3+2 \ge 3a $
Đúng theo $AM - GM$ .
#16
Đã gửi 19-11-2011 - 21:45
Giảicho $ x, y,z>0$. thoa man $x+y+z=3$ CMR:
$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$
Học latex ở đây nè bạn: http://diendantoanho...showtopic=63583
Chẳng biết đã chùng chưa
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta có
\[VT \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + {x^2} + {y^2} + {z^2}}} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{\frac{1}{3}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2} + \frac{1}{3}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}} = \frac{3}{2}\]
- dark templar yêu thích
#17
Đã gửi 07-01-2012 - 09:50
cho x,y,z>0;thoa man dieu kien x+y+z=3.CMR:
$\dfrac{x}{y^{2}+1}+\dfrac{y}{z^{2}+1}+\dfrac{z}{x^{2}+1}$
-------------------------------------------------
Chú ý: Gõ tiếng Việt có dấu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-01-2012 - 10:28
#18
Đã gửi 07-01-2012 - 17:02
Mình vẫn chưa hiểu bài này của Hoàng lắm.Giải
Chẳng biết đã chùng chưa
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta có
\[VT \ge \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + {x^2} + {y^2} + {z^2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{\dfrac{1}{3}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{3}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{2}\]
Bước cuối cùng ý. Đề bài cho $a+b+c=3$ chứ đâu có cho $a^2+b^2+c^2=3$ đâu?
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#19
Đã gửi 07-01-2012 - 17:31
Đúng rồi mà anh Việt ,anh Hoàng đã sử dụng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\Rightarrow \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$Mình vẫn chưa hiểu bài này của Hoàng lắm.
Bước cuối cùng ý. Đề bài cho $a+b+c=3$ chứ đâu có cho $a^2+b^2+c^2=3$ đâu?
#20
Đã gửi 12-01-2012 - 21:57
$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geqslant \frac{x^{2}}{y^{2}+2}+\frac{y^{2}}{z^{2}+2}+\frac{z^{2}}{x^{2}+2}$cho $ x, y,z>0$. thoa man $x+y+z=3$ CMR:$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geqslant$
$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$
Học latex ở đây nè bạn: http://diendantoanho...showtopic=63583
$\geqslant \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{2}(x+y+z)$ (Vì giả thiết cho ta x,y,z > 0 nên không thuộc khoảng đặc biệt $0\leqslant x,y,z \leqslant 1$)
$= \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{3}{2}$ Đúng
Suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-01-2012 - 22:25
Doesn't mean the all
Doesn't mean nothing
Doesn't mean the best
Doesn't mean the worst
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh