cho $ x, y,z>0$. thoa man $x+y+z=3$ CMR:
$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$
Học latex ở đây nè bạn: http://diendantoanho...showtopic=63583
Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức: $\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}+x^2+y^2+z^2}=\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2+3}$
Mà $\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2+3}-\frac{3}{2}=\frac{3(x^2+y^2+z^2)-9}{2(x^2+y^2+z^2+3)}=\frac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2+3)}=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2(x^2+y^2+z^2+3)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$ nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-08-2021 - 19:26
