Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 9 Bình chọn

Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học

Tổng hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 102 trả lời

#21 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 07-12-2011 - 21:51

thêm 1 bài nữa vào đây, PT loga:
bài 12: DB_A_2006
giải PT:
$ log_x2+2log_{2x}4=log_{\sqrt{2x}}8 $
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#22 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-12-2011 - 21:58

thêm 1 bài nữa vào đây, PT loga:
bài 12: DB_A_2006
giải PT:
$ log_x2+2log_{2x}4=log_{\sqrt{2x}}8 $


Điều kiện:...

$$PT \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}2x}} = \frac{6}{{{{\log }_2}2x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{4}{{1 + {{\log }_2}x}} = \frac{6}{{1 + {{\log }_2}x}}$$
$$ \Leftrightarrow {\log _2}x = 1 \Leftrightarrow \boxed{x = 2}$$

#23 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 07-12-2011 - 22:09

P/s: Các bạn có nhận ra điều thú vị ở cách đặt ẩn không. Tại sao lại đặt $\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {x + 1} = 2 + t \\
\sqrt {y + 1} = 2 - t \\
\end{gathered} \right.$. Các bạn thử phân tích nhé
:icon1:

Theo em, theo tính đối xứng ta dự đoán được $x=y=2$ là nghiệm hệ phương trình. Khi đó :$\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 1} = 2$.
Kêt hợp với PT 2 đưa đến cho ta cách đặt như vậy để dẫn đến giải PT ẩn t ( khi đã biết $t=0$ là nghiệm thì PT này chắc hẳn đơn giản :D )
Trên đây chỉ là suy nghĩ của cá nhân mình, Các bạn cho ý kiến, suy nghĩ của các bạn nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#24 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-12-2011 - 22:13

Theo em, theo tính đối xứng ta dự đoán được $x=y=2$ là nghiệm hệ phương trình. Khi đó :$\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 1} = 2$.
Kêt hợp với PT 2 đưa đến cho ta cách đặt như vậy để dẫn đến giải PT ẩn t ( khi đã biết $t=0$ là nghiệm thì PT này chắc hẳn đơn giản :D )
Trên đây chỉ là suy nghĩ của cá nhân mình, Các bạn cho ý kiến, suy nghĩ của các bạn nhé!

Trên đây là một hướng suy nghĩ của vietfrog (cũng có ý :D) nhưng rất tiếc ... Các bạn tiếp tục thảo luận nhé.

#25 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-12-2011 - 22:16

Khối B năm 2006
Câu 2:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - \sqrt {xy} = 3 \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4 \\
\end{array} \right.(x;y \in R)
\]


Bài này em nghĩ ra được 2 cách sử dụng BĐT
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x + y - \sqrt {xy} = 3 \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3 + \sqrt {xy} (1) \\
\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4(2) \\
\end{array} \right.
\]

Điều kiện x,y$\geq 0$

(1)$\Rightarrow 3+\sqrt{xy}=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\leq 9$(3)
(2) $\Rightarrow 4=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\geq 2\sqrt[4]{xy+x+1+y}$
$\Rightarrow 2\geq \sqrt[4]{xy+x+y+1}\Leftrightarrow 16\geq x+y+xy+1\geq xy+\sqrt{xy}+1\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}-15\leq 0$
$\Rightarrow \sqrt{xy}\leq -5(l)\vee \sqrt{xy}\geq 3\Rightarrow xy\geq 9$(4)
Kết hợp (4);(3) ta có: xy=9 khi x=y=3
Cách này hơi dài :P
Cách thứ 2:
Từ (1) ta có$x,y\geq 0$
(1)$\Rightarrow x+y=3+\sqrt{xy}\leq 3+\dfrac{x+y}{2}\Rightarrow x+y\leq 6$
$\Rightarrow (x+1)+(y+1)\leq 8$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$4=1.\sqrt{x+1}+1\sqrt{y+1}\leq \sqrt{2}.\sqrt{x+y+xy+1}\leq \sqrt{16}=4$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=3
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#26 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-12-2011 - 16:12

Anh gửi cho các em thêm mấy bài

Bài 8 (Dự bị 1, KA-2002)
Giải phương trình: $16\log_{27x^2}x-3\log_{3x}x^2=0$

Bài 9 (Dự bị 2, KA-2002)
Tìm k để hai bất phương trình sau có nghiệm chung:
$|x-1|^3-3x-k<0$ và $ \dfrac{1}{2}\log_2x^2+\dfrac{1}{3}\log_2(x-1)^3 \le 3 $


Bài 9: Điều kiện: ${\left( {x - 1} \right)^3} > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Khi đó:
$$|x - 1{|^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} - 3x < k\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$\dfrac{1}{2}{\log _2}{x^2} + \dfrac{1}{3}{\log _2}{(x - 1)^3} \leqslant 3 \Leftrightarrow {\log _2}x + {\log _2}\left( {x - 1} \right) \leqslant 3$$
$$ \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {x - 1} \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \leqslant 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x^2} - x - 8 \leqslant 0 \\
x > 1\\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 < x \leqslant \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}$$
Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm thoả $1 < x \leqslant \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}$. Dùng đồ thị của hàm số $y = {\left( {x - 1} \right)^3} - 3x$, xét trên khoảng $1 < x \leqslant \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}$. Từ đó suy ra kết quả.

Bài 8: Nhờ anh Định kiểm tra lại đề, em thấy nó kì kì ở chỗ này $\boxed{{{\log }_{27{x^2}}}x}$

#27 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-12-2011 - 16:17

Bài 13: Giải phương trình: $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$

P/s: Xin lỗi vì không biết đó là đề thi năm mấy, thấy hay nên đưa ra cho mọi người cùng giải.

#28 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 09-12-2011 - 17:46

Bài 13: Giải phương trình: $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$


Em giải thử bài này mọi người kiểm tra đúng sai giúp em nhé.

Ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ta đặt $a=\sqrt{2x+1};b=\sqrt{3-2x}$ với điều kiện $a,b \ge 0$

Ta có: $a^2+b^2=4$

Phương trình ban đầu tương đương với:

$a + b = \dfrac{{(2 - {a^2})({b^2} - 2)}}{2} \Leftrightarrow 2(a + b) = 2{b^2} + 2{a^2} - 4 - {a^2}{b^2}$

Vì $a^2+b^2=4$ nên phương trình trên tương đương:
$ \Leftrightarrow 2(a + b) = 4 - {a^2}{b^2}$ (1)

Ta có: $VP = 4 - {a^2}{b^2} \ge 4 - \dfrac{{{{({a^2} + {b^2})}^2}}}{4} = 0$
Và ta cũng có: $a,b \ge 0$.

Do đó ta bình phương 2 vế của (1). Ta được:

$(1) \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 8ab = {(4 - {a^2}{b^2})^2} \Leftrightarrow 16 + 8ab = 16 - 8{a^2}{b^2} + {a^4}{b^4}$
$\Leftrightarrow ab(ab+2)(a^2b^2-2ab-4)$


$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\ab = - 2\\{a^2}{b^2} - 2ab - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right\}$

Đoạn cuối em làm hơi tắt một tí và bài này em chỉ giải ra $x$ trên tập hợp số thực thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 09-12-2011 - 17:48

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#29 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 09-12-2011 - 17:53

Tốt rồi đó Huy. Còn một cách khác ngắn gọn hơn. Em thử suy nghĩ tiếp nhé.

#30 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 11-12-2011 - 23:47

Bài 13: Giải phương trình: $$\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$$

Không biết cách này có đúng ý anh Thành không :D
ĐK: $x \in \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right]$
Ta có:
\[V{T^2} = 4 + 2\sqrt {2x + 1} \sqrt {2 - 3x} \ge 4 \Rightarrow VT \ge 2\,\,(do\,VT > 0)\]
Mặt khác:
\[VP = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} = 2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} \le 2\,\forall x \in \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right]\]
Dấu = xảy ra khi $x = \dfrac{3}{2};x = \dfrac{-1}{2}$
Vậy: $x = \dfrac{3}{2};x = \dfrac{-1}{2}$ là nghiệm phương trình. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-12-2011 - 16:22

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#31 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-12-2011 - 13:19

Hướng giải của Việt đã đúng ý rồi đó. Nhưng ở đoạn này Việt bị nhầm, không thể đánh giá như thế được

\[VP = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} = 2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} \le 4\,\forall x \in \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{3}{2}} \right]\]


Phải là: Do $$x \in \left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}} \right] \Rightarrow - 2 \leqslant 2x - 1 \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2x - 1} \right)^2} \leqslant 4 \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} \leqslant 2$$

Từ đó suy ra: $$\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = 2 \\
{\left( {2x - 1} \right)^2} = 4\\
\end{gathered} \right.$$

#32 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 12-12-2011 - 16:29

Hướng giải của Việt đã đúng ý rồi đó. Nhưng ở đoạn này Việt bị nhầm, không thể đánh giá như thế được



Phải là: Do $$x \in \left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}} \right] \Rightarrow - 2 \leqslant 2x - 1 \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2x - 1} \right)^2} \leqslant 4 \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2} \leqslant 2$$

Từ đó suy ra: $$\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = 2 \\
{\left( {2x - 1} \right)^2} = 4\\
\end{gathered} \right.$$

Hihi:D. Em gõ nhầm. :D . Cái đánh giá của em đúng rồi anh nhỉ :D.
Đưa thêm một hệ phương trình năm 2010 cho mọi người suy nghĩ nhé.
Câu V (Khối A-2010) ( Câu tương đương câu BĐT )
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7
\end{array} \right.\]

----------------------------------
Mọi người giải xong có thể suy nghĩ câu tiếp theo.
Bài T7/412 trong THTT số 412
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {17 - 3x} \right)\sqrt {5 - x} + \left( {3y - 14} \right)\sqrt {4 - y} = 0\\
2\sqrt {2x + y + 5} + 3\sqrt {3x + 2y + 11} = {x^2} + 6x + 13
\end{array} \right.\]

P/s: Sau khi xử lý xong 2 câu trên hay đưa ra những suy nghĩ của mình về 2 hệ này nhé. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 07-02-2012 - 20:55
Gõ nhầm!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#33 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-12-2011 - 17:48

Câu V (Khối A-2010) ( Câu tương đương câu BĐT )
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7
\end{array} \right.\]

----------------------------------


7 cách giải cho bài toán trên. Mọi người cho nhận xét nhé.

Do điều kiện như nhau nên áp dụng cho 7 cách: $$x \leqslant \dfrac{3}{4},y \leqslant \dfrac{5}{2}$$

Cách 1:

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)2x = \left( {5 - 2y + 1} \right)\sqrt {5 - 2y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \left( {{t^2} + 1} \right)t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0 \Rightarrow f$ tăng trên $\mathbb{R}$.

Khi đó: $$(1) \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) = f\left( {\sqrt {5 - 2y} } \right) \Leftrightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y = \dfrac{{5 - 4{x^2}}}{2}
\end{array} \right.$$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$$4{x^2} + {\left( {\dfrac{5}{2} - 2{x^2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x} - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Thấy $x = 0,x = \dfrac{3}{4}$ không là nghiệm của $(2)$.
Xét hàm số: $$g\left( x \right) = 4{x^2} + {\left( {\dfrac{5}{2} - 2{x^2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x} - 7,\,\,x \in \left( {0,\dfrac{3}{4}} \right]$$
Ta có: $g'\left( x \right) = 8x - 8x\left( {\dfrac{5}{2} - 2{x^2}} \right) - \dfrac{4}{{\sqrt {3 - 4x} }} = 4x\left( {4{x^2} - 3} \right) - \dfrac{4}{{\sqrt {3 - 4x} }} < 0 \Rightarrow g$ giảm.

Lại có: $g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0$ do đó phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2$

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 2:

Phương trình thứ nhất của hệ được viết thành:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \geqslant 0,\forall y \leqslant \dfrac{5}{2} \Rightarrow x \geqslant 0$$
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
u = 2x;0 \le u \le \dfrac{3}{2}\\
v = \sqrt {5 - 2y} \ge 0 \Rightarrow y = \dfrac{{5 - {v^2}}}{2}
\end{array} \right.$$
Tha vào phương trình thứ nhất ta có: $$\left( {{u^2} + 1} \right)\dfrac{u}{2} + \left( {\dfrac{{5 - {v^2}}}{2} - 3} \right)v = 0 \Leftrightarrow {u^3} + u - {v^3} - v = 0 \Leftrightarrow {u^3} + u = {v^3} + v\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = {t^3} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0 \Rightarrow f$ tăng trên $\mathbb{R}$.
Từ $$(1) \Rightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v$$
Thay vào phương trình thứ hai: $${u^2} + {\left( {\dfrac{{5 - u}}{2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 7 \Leftrightarrow 8\sqrt {3 - 2u} = - {u^4} + 6{u^2} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Xét hàm số: $g\left( u \right) = - {u^4} + 6{u^2} + 3\,;0 \le u \le \dfrac{3}{2}$. Lập bảng biến thiên từ đó suy ra $u=1$ là nghiệm của $(2)$ và đó là nghiệm duy nhất do:
* $h\left( u \right) = 8\sqrt {3 - 2u} $ giảm trên $0 \le u \le \dfrac{3}{2}$

* $g\left( u \right) = - {u^4} + 6{u^2} + 3$ tăng trên $0 \le u \le \dfrac{3}{2}$.

Từ đó suy ra hệ có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 3:

Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
VT = 4{x^3} + x \le \dfrac{{39}}{{16}} \Rightarrow VP = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \le \dfrac{{39}}{{16}} \Rightarrow y \ge 0\\
VP \ge 0 \Rightarrow x \ge 0
\end{array} \right.$$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le \dfrac{3}{4}\\
0 \le y \le \dfrac{5}{2}
\end{array} \right.$$
Xét hàm số: $$f\left( x \right) = \left( {4{x^2} + 1} \right)x \nearrow \left[ {0,\dfrac{3}{4}} \right],f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 1,g\left( y \right) = \left( {3 - y} \right)\sqrt {5 - 2y} \searrow \left[ {0,\dfrac{5}{2}} \right],g\left( 2 \right) = 1$$
$$h\left( x \right) = 4{x^2} + 2\sqrt {3 - 4x} \searrow \left[ {0,\dfrac{3}{4}} \right],q\left( y \right) = {y^2} \nearrow \left[ {0,\dfrac{5}{2}} \right]$$
Với $$0 \le x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow g\left( y \right) = f\left( x \right) < f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = g\left( 2 \right) \Rightarrow y > 2$$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3\\
q\left( y \right) > q\left( 2 \right) = 4
\end{array} \right. \Rightarrow V{T_{\left( {PT2} \right)}} > V{P_{\left( {PT2} \right)}}$$
Với $$\dfrac{1}{2} < x \le \dfrac{3}{4} \Rightarrow g\left( y \right) = f\left( x \right) > f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = g\left( 2 \right) \Rightarrow y < 2$$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
h\left( x \right) < h\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3\\
q\left( y \right) < q\left( 2 \right) = 4
\end{array} \right. \Rightarrow V{T_{\left( {PT2} \right)}} < V{P_{\left( {PT2} \right)}}$$
Với $$x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 4:

Phương trình thứ nhất của hệ được viết thành:
$$\left( {4{x^2} + 1} \right)2x = \left( {5 - 2y + 1} \right)\sqrt {5 - 2y} \Leftrightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y} $$
$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y = \dfrac{{5 - 4{x^2}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{y^2} = \dfrac{{16{x^4} - 40{x^2} + 25}}{4}
\end{array} \right.$$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
$$16{x^4} - 24{x^2} + 8\sqrt {3 - 4x} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {16{x^4} - 1} \right) - \left( {24{x^2} - 6} \right) + \left( {8\sqrt {3 - 4x} - 8} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left[ {\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 5} \right) - \dfrac{{16}}{{\sqrt {3 - 4x} + 1}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)S = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$$
$$0 \le x \le \dfrac{3}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 > 0\\
4{x^2} - 5 < 0
\end{array} \right. \Rightarrow S < 0$$
Từ đó suy ra hệ có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.

Cách 5:

Xét phương trình thứ nhất: $$\left( {4x + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0$$
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
u = 2x,u \le \dfrac{3}{2}\\
v = \sqrt {5 - 2y} \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow {v^2} = 5 - 2y \Rightarrow y = \dfrac{{5 - {v^2}}}{2} \Rightarrow y - 3 = - \dfrac{{{v^2} + 1}}{2}$$
$$PT(1) \Leftrightarrow \left( {{u^2} + 1} \right)\dfrac{u}{2} - \left( {\dfrac{{{v^2} + 1}}{2}} \right)v = 0 \Leftrightarrow {u^3} + u - {v^3} - v = 0 \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {{u^2} + uv + {v^2} + 1} \right) = 0$$
Vì $${u^2} + uv + {v^2} + 1 = {\left( {u + \dfrac{v}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{v^2}}}{4} + 1 > 0 \Rightarrow u = v \Rightarrow 2x = \sqrt {5 - 2y} $$
Trở về cách 1cách 2.

Cách 6:

Tương tự các cách trên, từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra: $2x = \sqrt {5 - 2y} $

Thay $u=2x$ vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
$${u^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 7 \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 3$$
Đặt $$v = y - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = \sqrt {3 - 2v} \\
{v^2} + 2\sqrt {3 - 2u} = 3
\end{array} \right.$$
Đặt $$w = \sqrt {3 - 2u} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{w^2} + 2u = 3\\
{u^2} + 2v = 3\\
{v^2} + 2w = 3
\end{array} \right.$$
Từ hệ trên dễ dàng chứng minh được $u = v = w = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2},y = 2$

Cách 7:

Đặt $u = \sqrt {5 - 2y} ,v = \sqrt {3 - 4x} ;u,v \ge 0$, khi đó ta có hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{array}{l}
4{x^3} + x + \left( {\dfrac{{5 - {u^2}}}{2} - 3} \right) = 0\\
4{x^2} + {y^2} + 2v = 7\\
x = \dfrac{{3 - {v^2}}}{4}\\
y = \dfrac{{5 - {u^2}}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow 8{x^3} + 2x - {u^3} - u = \left( {2x - u} \right)\left( {3{x^2} + {{\left( {x + u} \right)}^2}} \right) = 0$$
Suy ra: $$u = 2x \Rightarrow y = \dfrac{{5 - 4{{\left( {\dfrac{{3 - {v^2}}}{4}} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow 4{\left( {\dfrac{{3 - {v^2}}}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{5 - 4{{\left( {\dfrac{{3 - {v^2}}}{4}} \right)}^2}}}{2}} \right)^2} + 2v = 7$$
$$ \Leftrightarrow {v^8} - 12{v^6} + 30{v^4} + 36{v^2} + 128v - 183 = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {v - 1} \right)\left( {{v^7} + {v^6} - 11{v^5} - 11{v^4} + 19{v^3} + 19{v^2} + 55v + 183} \right) = 0$$
$$v \in \left[ {0,\sqrt 3 } \right] \Rightarrow {v^7} + {v^6} - 11{v^5} - 11{v^4} + 19{v^3} + 19{v^2} + 55v + 183 = 0\,\,\,\,vn$$
$$ \Rightarrow v = 1 \Rightarrow \sqrt {3 - 4x} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2$$
Từ đó suy ra hệ có nghiệm là $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2},2} \right)}$.
_________________________________________________________________________
P/s: Bài thứ hai thì cũng có dạng tương tự. Dành cho các bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 12-12-2011 - 18:46


#34 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 12-12-2011 - 19:11

Bài đó có phải năm anh Thành thi không nhỉ.
Bài này em ngồi nghĩ trên lớp phải mất 30p. :(
Có ý tưởng gì hay anh em post lên đi! :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#35 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-12-2011 - 19:23

Bài đó có phải năm anh Thành thi không nhỉ.
Bài này em ngồi nghĩ trên lớp phải mất 30p. :(
Có ý tưởng gì hay anh em post lên đi! :D

Không em à. Anh thi năm 2011 mà :D

#36 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 14-12-2011 - 18:52

Bài 15: [ĐH Quốc Gia TPHCM 1997]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
log_{1+x}\left ( 1-2y+y^{2} \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x+x^{2} \right )=4\; \; \; \left ( 1 \right ) & \\
log_{1+x}\left ( 1+2y \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x \right )=2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( 2 \right )&
\end{matrix}\right.$$


#37 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 15-12-2011 - 23:37

Bài 15: [ĐH Quốc Gia TPHCM 1997]

Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
log_{1+x}\left ( 1-2y+y^{2} \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x+x^{2} \right )=4\; \; \; \left ( 1 \right ) & \\
log_{1+x}\left ( 1+2y \right )+log_{1-y}\left ( 1+2x \right )=2\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( 2 \right )&
\end{matrix}\right.$$


ĐK: $x > \dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{2} < y < 1$ và $x,y \ne 0$

\[\begin{array}{l}
PT(1) \Leftrightarrow {\log _{1 + x}}{\left( {y - 1} \right)^2} + {\log _{1 - y}}{\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\
\Leftrightarrow 2{\log _{1 + x}}\left( {1 - y} \right) + 2{\log _{1 - y}}\left( {1 + x} \right) = 4\\
\Leftrightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + x} \right) = 2\\
\Leftrightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - y} \right) = 1 \Leftrightarrow + x = - y
\end{array}\]
Thay vào $PT(2)$ ta được:\[\begin{array}{l}
{\log _{1 - y}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\\
\Leftrightarrow \left( {1 + 2y} \right)\left( {1 - 2y} \right) = {\left( {1 - y} \right)^2}
\end{array}\]
Tìm $y,x$ nhớ đối chiếu ĐK.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 15-12-2011 - 23:38

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#38 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 16-12-2011 - 11:07

Câu 2: (ĐH khối B năm 2003)

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3y = \dfrac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\\
3x = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}
\end{array} \right.\]

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#39 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-12-2011 - 11:43

Câu 2: (ĐH khối B năm 2003)

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3y = \dfrac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\\
3x = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}
\end{array} \right.\]


Hướng: Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai làm xuất hiện nhân tử chung $x-y$.

Nghiệm: $\boxed{\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)}$

#40 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-12-2011 - 11:55

Bài 17: [DB 2007]
Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{e^x} = 2007 - \dfrac{y}{{\sqrt {{y^2} - 1} }}\\
{e^y} = 2007 - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}
\end{array} \right.$ có đúng 2 nghiệm thoả mãn điều kiện $x > 0,y > 0$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh