Chủ đề này có 102 trả lời

[Phạm Hữu Bảo Chung]

@huynhmylinh: Theo mình nghĩ thì với điều kiện:
$A \geq B$ và $C \geq D$ thì chưa thể kết luận được $A - C \geq B - D$
Phải không nhỉ? :3

[Phạm Hữu Bảo Chung]

5. Bài 35: Giải hệ trên tập số thực
$\left\{ \begin{array}{l}
2 - \sqrt {{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1} = 2(3 - \sqrt 2 - x){y^2}\\
\sqrt {x - {y^2}} + x = 3
\end{array} \right.$
Dự bị khối D - 2010

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2 - \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(3 - \sqrt{2}).y^2 - 2xy^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (1)$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}a = xy^2 + 1 \geq 1\\y^2 = b \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình (1) trở thành:
$\sqrt{a^2 - b^2} = 2[a - (3 - \sqrt{2}).b]$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\a^2 - b^2 = 4[a^2 - 2ab(3 - \sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2})b^2] \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\3a^2 - 8ab(3 - \sqrt{2}) + (45 - 24\sqrt{2})b^2 = 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\(a - 3b)[3a - (15 - 8\sqrt{2}b)] = 0\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} a = 3b\\a = \dfrac{15 - 8\sqrt{2}}{3}b\end{array}\right.\\a \geq (3 - \sqrt{2})b\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow a = 3b \Rightarrow x.y^2 + 1 = 3y^2$

$\Leftrightarrow y^2(3 - x) = 1 \, (2)\Rightarrow 3 - x = \dfrac{1}{y^2}$

(Vì với y = 0 thì (2) trở thành 0 = 1(vô lý))

Từ điều này suy ra, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\sqrt{3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2} = \dfrac{1}{y^2}$

$\Leftrightarrow 3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2 = \dfrac{1}{y^4}$

$\Leftrightarrow y^6 - 3y^4 + y^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow (y^2 - 1)(y^4 - 2y^2 - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2 = 1\\y^2 = 1 + \sqrt{2}\\y^2 = 1 - \sqrt{2} (VN)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = \pm 1\\y = \pm\sqrt{\sqrt{2} + 1}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = -1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = \sqrt{1 + \sqrt{2}} \\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}\\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\end{array}\right.$

Thử lại ĐK, ta chọn cả 4 nghiệm trên.

[hoangtrong2305]

@huynhmylinh: Theo mình nghĩ thì với điều kiện:
$A \geq B$ và $C \geq D$ thì chưa thể kết luận được $A - C \geq B - D$
Phải không nhỉ? :3

Chung nhận định đúng, ví dụ:

$\left\{\begin{matrix} 9\geq 9\\ 8\geq 7 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 9-8\geq 9-7$

$\Rightarrow 1\geq 2$ (Sai)

Vậy từ giả thiết $A \geq B$ và $C \geq D$ thì chưa thể kết luận được $A - C \geq B - D$

[quynx2705]

Đề thi thử Chuyên Lý Tự Trọng khối D năm 2012 có câu Giải PT này, mong ae giúp đỡ:
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2.\sqrt[3]{5x-x^3}.$$

[MIM]

Đề thi thử Chuyên Lý Tự Trọng khối D năm 2012 có câu Giải PT này, mong ae giúp đỡ:
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2.\sqrt[3]{5x-x^3}.$$

Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình, chia $2$ vế của phương trình trên cho $x^3$ ta được:
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2.\sqrt[3]{5x-x^3}.$$

$$\Leftrightarrow -2+\frac{10}{x}-\frac{17}{x^2}+\frac{8}{x^3}=2\sqrt[3]{5x-x^3}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{2}{x}-1)^3+2(\frac{2}{x}-1)=\frac{5}{x^2}-1+2\sqrt[3]{\frac{5}{x^2}-1}$$

Tới đây dùng đạo hàm

[thanhdatpro16]

Giải các HPT sau đây:
Bài 36:

$\left\{\begin{matrix}2x+3=17x^{2}+13xy & \\ 2y-4=10y^{2}+13xy & \end{matrix}\right.$


Bài 37:
$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+1)(y^{2}+1)=10xy & \\ (xy+x+y+1)^{2}=27xy & \end{matrix}\right.$


Bài 38:
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{7x+y}+\sqrt{4x+2y+1}=6 & \\ \sqrt{x+y+1}+x-y=1 & \end{matrix}\right.$

Bài 39: $\left\{\begin{matrix}6(x+y)(xy+\frac{1}{xy}+2)=(2x^{2}+3y^{2})(1+\frac{1}{xy}) & \\ 29(xy+\frac{1}{xy})+62=(9x+13y)(1+\frac{1}{xy}) & \end{matrix}\right.$

Bài 40:$\left\{\begin{matrix}x^{2}y+x=\frac{5}{2}y^{5} & \\ xy^{2}+x+y=\frac{7}{2}y^{3} & \end{matrix}\right.$

Bài 41: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=2 & \\ \frac{72xy}{x-y}+29\sqrt[3]{x^{2}-y^{2}}=4 & \end{matrix}\right.$


Bài 42:
$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{x^{2}-y}+\frac{5y}{x+y^{2}}=4 & \\ 5x+y+\frac{x^{2}-5y^{2}}{xy}=5 & \end{matrix}\right.$

Bài 43:
$\left\{\begin{matrix}x+y=4xy & \\ (2x+3)\sqrt{4x+1}+(2y+3)\sqrt{4y+1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)} & \end{matrix}\right.$


Bài 44:$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} & \\ \sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=x(1+2\sqrt{1-y^{2}}) & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+\sqrt{y}}-\sqrt{x-\sqrt{y}}=\sqrt{4x-y} & \\ \sqrt{x^{2}-16}=2+\sqrt{y-3x} & \end{matrix}\right.$

[BoFaKe]

Bài 44:$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} & \\ \sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=x(1+2\sqrt{1-y^{2}}) & \end{matrix}\right.$

Chứng minh VT của phương trình $(1)$ lớn hơn hoặc $=$ VP.

Bài 43:
$\left\{\begin{matrix}x+y=4xy & \\ (2x+3)\sqrt{4x+1}+(2y+3)\sqrt{4y+1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)} & \end{matrix}\right.$

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/84759-ph%c6%b0%c6%a1ng-trinh-h%e1%bb%87-ph%c6%b0%c6%a1ng-trinh-b%e1%ba%a5t-ph%c6%b0%c6%a1ng-trinh-qua-cac-d%e1%bb%81-thi-th%e1%bb%ad-nam-2013/page__st__60#entry382967

Bài 37:
$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+1)(y^{2}+1)=10xy & \\ (xy+x+y+1)^{2}=27xy & \end{matrix}\right.$

Để ý cách phân tích:$x+y+xy+1=(x+1)(y+1)$.

[hoanhkhoa]

Giải các HPT sau đây:
Bài 36:

$\left\{\begin{matrix}2x+3=17x^{2}+13xy (1)& \\ 2y-4=10y^{2}+13xy (2)& \end{matrix}\right.$

Cộng từng vế của (1)(2) ta có
$2x+2y-1=17x^{2}+26xy+10y^{2}$
<=>$(16x^{2}+24xy+9y^{2})+[(x^{2}+2xy+y^{2})-2x-2y+1]=0$
<=>$(4x+3y)^{2}+(x+y-1)^{2}=0$
.................bla..................bla.................
Không biết ai làm chưa, làm lại thì khê quá !!!

[BoFaKe]

Bạn có lời giải thì post luôn đi để mọi người tham khảo,mấy bài nhìn ảo quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 06-01-2013 - 22:05

[thanhdatpro16]

Bạn có lời giải thì post luôn đi để mọi người tham khảo,mấy bài nhìn ảo quá

Đâu có lời giải đâu bạn ơi, chính vì nó ảo và ko có lời giải nên mình mới post lên cho mọi người cùng thảo luận đấy

[Tran Hoai Nghia]

5. Bài 35: Giải hệ trên tập số thực
$\left\{ \begin{array}{l}
2 - \sqrt {{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1} = 2(3 - \sqrt 2 - x){y^2}\\
\sqrt {x - {y^2}} + x = 3
\end{array} \right.$
Dự bị khối D - 2010

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2 - \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(3 - \sqrt{2}).y^2 - 2xy^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (1)$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}a = xy^2 + 1 \geq 1\\y^2 = b \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình (1) trở thành:
$\sqrt{a^2 - b^2} = 2[a - (3 - \sqrt{2}).b]$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\a^2 - b^2 = 4[a^2 - 2ab(3 - \sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2})b^2] \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\3a^2 - 8ab(3 - \sqrt{2}) + (45 - 24\sqrt{2})b^2 = 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\(a - 3b)[3a - (15 - 8\sqrt{2}b)] = 0\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} a = 3b\\a = \dfrac{15 - 8\sqrt{2}}{3}b\end{array}\right.\\a \geq (3 - \sqrt{2})b\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow a = 3b \Rightarrow x.y^2 + 1 = 3y^2$

$\Leftrightarrow y^2(3 - x) = 1 \, (2)\Rightarrow 3 - x = \dfrac{1}{y^2}$

(Vì với y = 0 thì (2) trở thành 0 = 1(vô lý))

Từ điều này suy ra, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\sqrt{3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2} = \dfrac{1}{y^2}$

$\Leftrightarrow 3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2 = \dfrac{1}{y^4}$

$\Leftrightarrow y^6 - 3y^4 + y^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow (y^2 - 1)(y^4 - 2y^2 - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2 = 1\\y^2 = 1 + \sqrt{2}\\y^2 = 1 - \sqrt{2} (VN)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = \pm 1\\y = \pm\sqrt{\sqrt{2} + 1}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = -1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = \sqrt{1 + \sqrt{2}} \\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}\\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\end{array}\right.$

Thử lại ĐK, ta chọn cả 4 nghiệm trên.

theo tui hok cần dài dòng như vậy đâu:
đk:$x\leq 3$
$\left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{(xy^{2}+1)^{2}-y^{4}}=2(3-\sqrt{2}-x)y^{2} & \\ y^{2}=-x^{2}+7x-9& \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2(2\sqrt{2}-3)xy^{2}+y^{4}+23-16\sqrt{2}=0 & \\ y^{2}=-x^{2}+7x-9& \end{matrix}\right.$
thế $y^{2}$=.... zô thì giải phương trình bậc 4 có nhân tử $x^{2}-4$ là xong.
các bạn cho ý kiến xem.

5. Bài 35: Giải hệ trên tập số thực
$\left\{ \begin{array}{l}
2 - \sqrt {{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1} = 2(3 - \sqrt 2 - x){y^2}\\
\sqrt {x - {y^2}} + x = 3
\end{array} \right.$
Dự bị khối D - 2010

Giải

ĐK:
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}{y^4} + 2x{y^2} - {y^4} + 1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2 - \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(3 - \sqrt{2}).y^2 - 2xy^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (1)$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}a = xy^2 + 1 \geq 1\\y^2 = b \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình (1) trở thành:
$\sqrt{a^2 - b^2} = 2[a - (3 - \sqrt{2}).b]$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\a^2 - b^2 = 4[a^2 - 2ab(3 - \sqrt{2}) + (11 - 6\sqrt{2})b^2] \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\3a^2 - 8ab(3 - \sqrt{2}) + (45 - 24\sqrt{2})b^2 = 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \geq (3 - \sqrt{2})b\\(a - 3b)[3a - (15 - 8\sqrt{2}b)] = 0\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} a = 3b\\a = \dfrac{15 - 8\sqrt{2}}{3}b\end{array}\right.\\a \geq (3 - \sqrt{2})b\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow a = 3b \Rightarrow x.y^2 + 1 = 3y^2$

$\Leftrightarrow y^2(3 - x) = 1 \, (2)\Rightarrow 3 - x = \dfrac{1}{y^2}$

(Vì với y = 0 thì (2) trở thành 0 = 1(vô lý))

Từ điều này suy ra, phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\sqrt{3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2} = \dfrac{1}{y^2}$

$\Leftrightarrow 3 - \dfrac{1}{y^2} - y^2 = \dfrac{1}{y^4}$

$\Leftrightarrow y^6 - 3y^4 + y^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow (y^2 - 1)(y^4 - 2y^2 - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2 = 1\\y^2 = 1 + \sqrt{2}\\y^2 = 1 - \sqrt{2} (VN)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = \pm 1\\y = \pm\sqrt{\sqrt{2} + 1}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = -1\\x = 2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = \sqrt{1 + \sqrt{2}} \\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}y = - \sqrt{1 + \sqrt{2}}\\x = - \sqrt{2} + 4\end{array}\right.\end{array}\right.$

Thử lại ĐK, ta chọn cả 4 nghiệm trên.

theo tui hok cần dài dòng như vậy đâu:
đk:$x\leq 3$
$\left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{(xy^{2}+1)^{2}-y^{4}}=2(3-\sqrt{2}-x)y^{2} & \\ y^{2}=-x^{2}+7x-9& \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2(2\sqrt{2}-3)xy^{2}+y^{4}+23-16\sqrt{2}=0 & \\ y^{2}=-x^{2}+7x-9& \end{matrix}\right.$
thế $y^{2}$=.... zô thì giải phương trình bậc 4 có nhân tử $x^{2}-4$ là xong.
các bạn cho ý kiến xem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran hoai nghia: 18-03-2013 - 14:30

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 38

Giải

Đặt $a = x + y + 1; b = y - x + 1$

Từ đó suy ra: $\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{a - b}{2}\\y = \dfrac{a + b - 2}{2} \end{matrix}\right.$

 

Với phép đặt như trên, hệ phương trình ban đầu trở thành:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{4a - 3b - 1} + \sqrt{3a - b - 1} = 6\\\sqrt{a} = b\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left (\sqrt{4a - 3\sqrt{a} - 1} - 3 \right ) + \left ( \sqrt{3a - \sqrt{a} - 1} - 3 \right) = 0\\b = \sqrt{a}\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{4a - 3\sqrt{a} - 10}{1 + \sqrt{4a - 3\sqrt{a}}} + \dfrac{3a - \sqrt{a} - 10}{1 + \sqrt{3a - \sqrt{a} - 1}} = 0\\b = \sqrt{a}\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(\sqrt{a} - 2) \left ( \dfrac{4\sqrt{a} + 5}{1 + \sqrt{4a - 3\sqrt{a}}} + \dfrac{3\sqrt{a} + 5}{1 + \sqrt{3a - \sqrt{a} - 1}}\right ) = 0 \\b = \sqrt{a}\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4 \\ b = 2\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1 \\y = 2\end{matrix}\right.$

[trongthuc]

Bài 1: ( Khối A-2003)
Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
x - \dfrac{1}{x} = y - \dfrac{1}{y} (1) \\ 
2y = {x^3} + 1                               (2)
\end{array} \right.$

 

xét pt (1): 

xét hàm đặc trưng: f(t) = t - $\dfrac{1}{t}$ $\forall t \neq 0$

 $\Rightarrow f'(t)=1+ $\dfrac{1}{t^{2}}$  > 0 $\forall t\neq 0$

$\Rightarrow$ y=f(t) đồng biến 

$\Rightarrow$ f(x) = f(y) 

$\Rightarrow$ x=y

thay vào (2) ta được nghiệm của hệ pt: (1;1), ($\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$),($\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$)

[hungnp]

Có thể giải bằng cách xét hàm $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$.
Dễ thấy $f(t)$ đồng biến với mọi $t$ thuộc tập xác định. Như vậy phương trình đầu của hệ chỉ xảy ra khi $x =y$.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ suy ra nghiệm $(x,y)$ như em huynhmylinh đã giải

Bài này nếu dùng pp hàm số như "CD13" hay "trongthuc" nói là không chính xác vì hàm số $f(x)=x-\frac{1}{x}$ không đơn điệu trên toàn bộ TXĐ của nó là $\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$

 

Ví dụ như bài hpt sau đây: $\left\{ \begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\ x^2+y^2=6 \end{matrix}\right.$

 

Hệ pt này có 6 nghiệm: $\left(\sqrt{3};\sqrt{3}\right)$; $\left(-\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)$; $\left(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)$; $\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$; $\left(-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right)$; $\left(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right)$

 

Nếu giải bằng pp hàm số như một số bạn phía trên nói thì mất đi 4 nghiệm phía sau rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 09-08-2013 - 14:14

[quynx2705]

Có thể giải bằng cách xét hàm $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$.
Dễ thấy $f(t)$ đồng biến với mọi $t$ thuộc tập xác định. Như vậy phương trình đầu của hệ chỉ xảy ra khi $x =y$.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ suy ra nghiệm $(x,y)$ như em huynhmylinh đã giải

Cách này không ổn, vì hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định, chứ không đồng biến trên toàn TXD. Do đó không thể kết luận $x=y$ (có thể thấy rõ trên đồ thị hàm số này).

 

Ops! Post xong mới thấy bạn hungnp ở trên đã nói điều này rồi...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynx2705: 31-08-2013 - 07:49

[Kaito Kuroba]

xét pt (1): 

xét hàm đặc trưng: f(t) = t - $\dfrac{1}{t}$ $\forall t \neq 0$

 $\Rightarrow f'(t)=1+ $\dfrac{1}{t^{2}}$  > 0 $\forall t\neq 0$

$\Rightarrow$ y=f(t) đồng biến 

$\Rightarrow$ f(x) = f(y) 

$\Rightarrow$ x=y

thay vào (2) ta được nghiệm của hệ pt: (1;1), ($\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{x}$),($\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$, $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{x}$)

 

 

Bài này nếu dùng pp hàm số như "CD13" hay "trongthuc" nói là không chính xác vì hàm số $f(x)=x-\frac{1}{x}$ không đơn điệu trên toàn bộ TXĐ của nó là $\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$

 

Ví dụ như bài hpt sau đây: $\left\{ \begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\ x^2+y^2=6 \end{matrix}\right.$

 

Hệ pt này có 6 nghiệm: $\left(\sqrt{3};\sqrt{3}\right)$; $\left(-\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)$; $\left(1+\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)$; $\left(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)$; $\left(-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right)$; $\left(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right)$

 

Nếu giải bằng pp hàm số như một số bạn phía trên nói thì mất đi 4 nghiệm phía sau rồi.

 

 

Cách này không ổn, vì hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định, chứ không đồng biến trên toàn TXD. Do đó không thể kết luận $x=y$ (có thể thấy rõ trên đồ thị hàm số này).

 

Ops! Post xong mới thấy bạn hungnp ở trên đã nói điều này rồi...

 

 

hoặc một cách đặt nhân tử chung như thế này:

từ pt đầu tiên ta có: $x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\Leftrightarrow x-y+\frac{x-y}{xy}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y & \\ xy=-1& \end{bmatrix}$

kết hợp pt còn  lại là OK!!!

[JokerLegend]

Xin post thêm bài để tránh toppic đi vào quên lãng

$\left\{\begin{matrix} & \\ x^4-4x^2+y^2-6y+9=0 & \\ x^2y+x^2+2y-22=0 \end{matrix}\right.$

[JokerLegend]

$5.3^{2x-1}-7.3^{x-1}+\sqrt{1-6.3^{x}+9^{x+1}}=0$

[JokerLegend]

$\left\{\begin{matrix} & \\ 8x^3y^3+27=18y^3 & \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{matrix}\right.$

[JokerLegend]

$\left\{\begin{matrix} & \\ x^2+1+y(x+y)=4y & \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{matrix}\right.$