Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN HSG QUẢNG NINH NĂM 2011-2012 VÒNG 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-11-2011 - 09:17

ĐỀ THI CHỌN HSG QUẢNG NINH NĂM 2011-2012 VÒNG 2


Câu I: (5 điểm)
Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{x^4}}}{{{y^4}}} + \dfrac{{{y^4}}}{{{x^4}}} - 3\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} - 3\dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = - 6\\
2\left( {x - y} \right) = \sqrt {x + 6} - {y^2}
\end{array} \right.$$

Câu II: (3 điểm)
Cho dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định bởi ${x_0} = a,\,\,a \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right);\,\,{x_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x_n}}}$. Chứng minh dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu III: (4 điểm)
Cho các số thực $a,b,c$. Đặt $M = m{\rm{ax}}\left\{ {{a^2} + 2;{b^2} + {c^2} + 1;\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2}}}} \right\}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$.

Câu IV: (5 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ (AB khác AC), đường cao $B{B_1}$ trực tâm $H, M$ là trung điểm $BC$. Trên cạnh $AB$ lấy $D$, trên $AC$ lấy $E$ sao cho $AE=AD$ và $D, H, E$ thẳng hàng. $O,{O_1}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $ADE$. Chứng minh rằng:

$a)\,\,\,\dfrac{{E{B_1}}}{{EC}} = \dfrac{{OM}}{{OC}}$

$b)\,\,\,HM//O{O_1}$

Câu V: (3 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại các số $x, y$ nguyên dương thỏa mãn ${x^2} - {y^3} = 215$.

#2 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 17-11-2011 - 13:59

Bài này nhìn qua thấy con hệ ngon và thứ 2 là con số học
ta đưa về
$ x^{2}+1=(y+6)(y^{2}-6y+36)$
đến đây có thể sử lí băng nhiều cách biện luận dạng của y như sau
giả sử y chẵn thì 1 ben chia hết cho 4 một bên ko chia hết
giả sử $ y=4k+1$ thì$ x^{2}+1$$ \vdots p$(p là số nguyên tố có dạng $ 4k+3$)
giả sử$ y=4k+3$ thì cũng như TH $ y=4k+1$


ở bên Máthcope có mộtcách giải hình như ko ỏn các bạn tham khảo rồi cho nhận xét nha
$ x^{2}+1=(y+6)(y^{2}-6y+36)$
ta có nếu $ x^{2}+1\vdots p$(p là số nguyên tố)
thì $ x^{2}\equiv -1(modp)$
vậy -1 là số chính phương modp
$ \Rightarrow \left ( \dfrac{-1}{p} \right )=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}}=1$
$ \Rightarrow p=4k+1$ sau đó bạn ấy suy ra $ \begin{cases}
y+6\equiv 1(mod4)\\
y^{2}-6y+36\equiv 1(mod4)\\
\end{cases}$
như vậy ko đúng thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 17-11-2011 - 15:44


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-11-2011 - 18:57

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG QUẢNG NINH NĂM 2011-2012 2 VÒNG


LINK DOWNLOAD






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh