ĐỀ THI CHỌN HSG QUẢNG NINH NĂM 2011-2012 VÒNG 2
Câu I: (5 điểm)
Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{x^4}}}{{{y^4}}} + \dfrac{{{y^4}}}{{{x^4}}} - 3\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} - 3\dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = - 6\\
2\left( {x - y} \right) = \sqrt {x + 6} - {y^2}
\end{array} \right.$$
Câu II: (3 điểm)
Cho dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định bởi ${x_0} = a,\,\,a \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right);\,\,{x_{n + 1}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x_n}}}$. Chứng minh dãy $\left\{ {{x_n}} \right\}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu III: (4 điểm)
Cho các số thực $a,b,c$. Đặt $M = m{\rm{ax}}\left\{ {{a^2} + 2;{b^2} + {c^2} + 1;\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2}}}} \right\}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$.
Câu IV: (5 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ (AB khác AC), đường cao $B{B_1}$ trực tâm $H, M$ là trung điểm $BC$. Trên cạnh $AB$ lấy $D$, trên $AC$ lấy $E$ sao cho $AE=AD$ và $D, H, E$ thẳng hàng. $O,{O_1}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $ADE$. Chứng minh rằng:
$a)\,\,\,\dfrac{{E{B_1}}}{{EC}} = \dfrac{{OM}}{{OC}}$
$b)\,\,\,HM//O{O_1}$
Câu V: (3 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại các số $x, y$ nguyên dương thỏa mãn ${x^2} - {y^3} = 215$.
