Chủ đề này có 1 trả lời

[cobengocnghech]

a/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: $\dfrac{(1!)^{2}}{2!}+\dfrac{(2!)^{2}}{4!}+...+\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}+...$
b/ Tìm miền lỹ thừa của chuỗi hội tụ sau: $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( 1-\dfrac{1}{n} \right )^{n^{2}}x^{n}$

[Crystal]

a/ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi: $\dfrac{(1!)^{2}}{2!}+\dfrac{(2!)^{2}}{4!}+...+\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}+...$

Ta có: $${u_n} = \dfrac{{{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n} \right)!}},\,\,\,{u_{n + 1}} = \dfrac{{{{\left[ {\left( {n + 1} \right)!} \right]}^2}}}{{\left[ {2\left( {n + 1} \right)} \right]!}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left[ {\left( {n + 1} \right)!} \right]}^2}}}{{\left[ {2\left( {n + 1} \right)} \right]!}}.\dfrac{{\left( {2n} \right)!}}{{{{\left( {n!} \right)}^2}}} = \dfrac{{n + 1}}{{2\left( {2n + 1} \right)}}$$
Do đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{{n + 1}}{{4n + 2}}} \right) = \dfrac{1}{4}$$
Theo tiêu chuẩn Đalămbe suy ra chuỗi $\dfrac{{{{(1!)}^2}}}{{2!}} + \dfrac{{{{(2!)}^2}}}{{4!}} + ... + \dfrac{{{{(n!)}^2}}}{{(2n)!}} + ...$ hội tụ.