giải hệ PT sau:
$(1) (x+3)\sqrt{2x-1}+(y+3)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
$(2) x+y=2xy$
hệ PT đơn giản sau theo 2 cách khác nhau
Bắt đầu bởi minhson95, 22-11-2011 - 20:21
#1
Đã gửi 22-11-2011 - 20:21
- zookiiiiaa yêu thích
#2
Đã gửi 23-11-2011 - 20:41
Từ pt2 có: $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &y=x(2y-1) \\ & x=y(2x-1) \end{matrix}$
Thay vào pt1 có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Mà theo BDT AM_GM có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}\geq 2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}=(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0$
$\Leftrightarrow x=y=1 (x;y\geq \dfrac{1}{2})$
p/s: Mod vào sửa dùm mình cái lỗi này với. mình sửa hoài không được
Thay vào pt1 có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Mà theo BDT AM_GM có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}\geq 2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}=(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0$
$\Leftrightarrow x=y=1 (x;y\geq \dfrac{1}{2})$
p/s: Mod vào sửa dùm mình cái lỗi này với. mình sửa hoài không được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 23-11-2011 - 20:44
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.
I'll always smile.
Try my best.
#3
Đã gửi 23-11-2011 - 22:20
cảm ơn bạn nhiều!
bạn có cách thứ 2 không post lên cho mình với
bài này mình cần 2 cách.
bạn có cách thứ 2 không post lên cho mình với
bài này mình cần 2 cách.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 23-11-2011 - 22:33
- zookiiiiaa yêu thích
#4
Đã gửi 24-11-2011 - 12:09
mình xin được post cách giải thứ 2 như sau:
điều kiện: $x, y \geq \dfrac{1}{2}$
vì $\sqrt{(2x-1)(2y-1)}=\sqrt{4xy-2(x+y)+1}=1$ do thế (2) vào thì ta được
$\sqrt{4xy-2(x+y)+1)}=\sqrt{4xy-4xy+1}=1$
thế vào (1) ta được:
$(x+3)\sqrt{2x-1} + (y+3)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)\sqrt{(2x-1)(2y-1)}}$
$<=>(\sqrt{(x+3)\sqrt{2x-1}} - \sqrt{(y+3)\sqrt{2y-1}} )^2=0$
$<=>\sqrt{(x+3)\sqrt{2x-1}}=\sqrt{(y+3)\sqrt{2y-1}} $
$<=>(x+3)\sqrt{2x-1}=(y+3)\sqrt{2y-1} (3)$
thế $(3)$ vào $(1)$ ta được:
$2(x+3)\sqrt{2x+1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
$<=>\sqrt{(2x-1)(x+3)}=\sqrt{y+3}$
$<=>(2x-1)(x+3)=y+3$
$<=>y=2x^2+5x-6 (4)$
thế $(4)$ vào (2) ta được
$2x^3-4x^2-9x+3=0$
$<=>(x-1)(2x^2+6x-3)=0$
$=>x=1$ hoặc $2x^2+6x-3=0$ (loại do có một nghiệm $< \dfrac{1}{2}$)
$=>x=1$ (thoả mãn)
$=>y=1$
vậy hệ PT có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$
điều kiện: $x, y \geq \dfrac{1}{2}$
vì $\sqrt{(2x-1)(2y-1)}=\sqrt{4xy-2(x+y)+1}=1$ do thế (2) vào thì ta được
$\sqrt{4xy-2(x+y)+1)}=\sqrt{4xy-4xy+1}=1$
thế vào (1) ta được:
$(x+3)\sqrt{2x-1} + (y+3)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)\sqrt{(2x-1)(2y-1)}}$
$<=>(\sqrt{(x+3)\sqrt{2x-1}} - \sqrt{(y+3)\sqrt{2y-1}} )^2=0$
$<=>\sqrt{(x+3)\sqrt{2x-1}}=\sqrt{(y+3)\sqrt{2y-1}} $
$<=>(x+3)\sqrt{2x-1}=(y+3)\sqrt{2y-1} (3)$
thế $(3)$ vào $(1)$ ta được:
$2(x+3)\sqrt{2x+1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
$<=>\sqrt{(2x-1)(x+3)}=\sqrt{y+3}$
$<=>(2x-1)(x+3)=y+3$
$<=>y=2x^2+5x-6 (4)$
thế $(4)$ vào (2) ta được
$2x^3-4x^2-9x+3=0$
$<=>(x-1)(2x^2+6x-3)=0$
$=>x=1$ hoặc $2x^2+6x-3=0$ (loại do có một nghiệm $< \dfrac{1}{2}$)
$=>x=1$ (thoả mãn)
$=>y=1$
vậy hệ PT có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 24-11-2011 - 12:29
- zookiiiiaa yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh