Chủ đề này có 3 trả lời

[minhson95]

giải hệ PT sau:
$(1) (x+3)\sqrt{2x-1}+(y+3)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
$(2) x+y=2xy$

[tuithichtoan]

Từ pt2 có: $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &y=x(2y-1) \\ & x=y(2x-1) \end{matrix}$
Thay vào pt1 có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Mà theo BDT AM_GM có: $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}\geq 2\sqrt{(x+3)(y+3)}$
Dấu "=" xảy ra khi $(x+3)\sqrt{\dfrac{x}{y}}=(y+3)\sqrt{\dfrac{y}{x}}$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0$
$\Leftrightarrow x=y=1 (x;y\geq \dfrac{1}{2})$
p/s: Mod vào sửa dùm mình cái lỗi này với. mình sửa hoài không được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuithichtoan: 23-11-2011 - 20:44

[minhson95]

cảm ơn bạn nhiều!
bạn có cách thứ 2 không post lên cho mình với
bài này mình cần 2 cách.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 23-11-2011 - 22:33

[minhson95]

mình xin được post cách giải thứ 2 như sau:

điều kiện: $x, y \geq \dfrac{1}{2}$

vì $\sqrt{(2x-1)(2y-1)}=\sqrt{4xy-2(x+y)+1}=1$ do thế (2) vào thì ta được

$\sqrt{4xy-2(x+y)+1)}=\sqrt{4xy-4xy+1}=1$

thế vào (1) ta được:

$(x+3)\sqrt{2x-1} + (y+3)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)\sqrt{(2x-1)(2y-1)}}$

$<=>(\sqrt{(x+3)\sqrt{2x-1}} - \sqrt{(y+3)\sqrt{2y-1}} )^2=0$

$<=>\sqrt{(x+3)\sqrt{2x-1}}=\sqrt{(y+3)\sqrt{2y-1}} $

$<=>(x+3)\sqrt{2x-1}=(y+3)\sqrt{2y-1} (3)$

thế $(3)$ vào $(1)$ ta được:

$2(x+3)\sqrt{2x+1}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}$

$<=>\sqrt{(2x-1)(x+3)}=\sqrt{y+3}$

$<=>(2x-1)(x+3)=y+3$

$<=>y=2x^2+5x-6 (4)$

thế $(4)$ vào (2) ta được

$2x^3-4x^2-9x+3=0$

$<=>(x-1)(2x^2+6x-3)=0$

$=>x=1$ hoặc $2x^2+6x-3=0$ (loại do có một nghiệm $< \dfrac{1}{2}$)

$=>x=1$ (thoả mãn)

$=>y=1$

vậy hệ PT có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 24-11-2011 - 12:29