Chủ đề này có 48 trả lời

[alex_hoang]

Bài 15:Cho $n$ là số nguyên dương.Tìm số các đa thức $P(x)$ bậc $n$ với các hệ số thuộc tập hợp $E={0,1,2,3,4,5,6,7,8}$ và thỏa mãn $P(3)=n$
(Bài này chém chưa ra nhờ mọi người giúp đỡ)

[hura]

Mình là thành viên mới và khôg biết nhiều về dạng toán này nhưg thấy ở đây ssoi nổi quá nên cũng mạo muội đưa lên 1 bài

Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n >3$ và có các nghiệm thục $x_1<x_2<...<x_n$. chúng minh rằng
\[P'(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2})P'(\frac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2}) \ne 0\]
@@ Có phải đây là điều mà bạn muốn viết ,nếu không đúng bạn trao đổi với mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 27-11-2011 - 01:22

[alex_hoang]

Bài 16 :Đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn các đẳng thức $P(k) = \dfrac{1}{{C_{n + 1}^k}};\forall k = 0,1,2...,n$.Tính $P(n+1)$

@@Anh Thành:Em không hiểu lắm việc cho thêm dấu ngoặc tròn của anh,nếu theo cách hiểu sơ cấp nhất (em cũng chỉ hiểu theo cách sơ cấp ấy thôi) thì nó chẳng có ý nghĩa gì cả .Mong anh và các bạn giúp đỡ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 27-11-2011 - 09:58

[alex_hoang]

Bài 17:Chứng minh rằng phương trình $P(x)={2^ x}$(Trong đó $P(x)$ là đa thức bậc $n$) không có quá $n+1$ nghiệm

[hura]

Mình là thành viên mới và khôg biết nhiều về dạng toán này nhưg thấy ở đây ssoi nổi quá nên cũng mạo muội đưa lên 1 bài

Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n >3$ và có các nghiệm thục $x_1<x_2<...<x_n$. chúng minh rằng
\[P'(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2})P'(\frac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2}) \ne 0\]
@@ Có phải đây là điều mà bạn muốn viết ,nếu không đúng bạn trao đổi với mình

cảm ơn bạn dã sửa giúp mình, mọi người thử sưc nhá

[anh qua]

Bài18: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P_{(x)}$ , bậc lớn hơn hoặc bằng $2$ sao cho tồn tại các số thực $r_1, r_2,...., r_n$ sao cho:
a) $p_{(r_{i})}=0$ với $i=1, 2, 3,..., n.$
b) $p^{'}_{(\frac{r_{i}+r_{i+1}}{2})}=0$ với $i= 1, 2,...., n-1$
Bài 19:. Cho $f: R ---> R$ là hàm số có đạo hàm cấp 3 liên tục có tồn tại hay không số thực a sao cho :$f_{(a)}.f_{(a)}^{'}.f_{(a)}^{''}.f_{(a)}^{'''} \geq 0$
Bài 20:. Với $f,g \in Z[x]$ , ta nói:$f \equiv g ( mod m)$ nếu: $(f-g)$ có các hệ số là bội của $m$ Cho $n,p \in N^{*}, p$ nguyên tố. Giả sử $f,g,h,r,s \in Z[x]$ sao cho:
$rf+sg \equiv 1 ( mod p)$ và $fg \equiv h ( mod p)$. CMR: Tồn tại $F, G$ sao cho :
$F \equiv f ( mod p)$ ; $G \equiv g ( mod p)$ và $FG \equiv h (mod p^n)$

[Crystal]

Bài18: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P_{(x)}$ , bậc lớn hơn hoặc bằng $2$ sao cho tồn tại các số thực $r_1, r_2,...., r_n$ sao cho:
a) $p_{(r_{i})}=0$ với $i=1, 2, 3,..., n.$
b) $p^{'}_{(\dfrac{r_{i}+r_{i+1}}{2})}=0$ với $i= 1, 2,...., n-1$

Ta chứng minh $P\left( x \right)$ là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt $P\left( x \right) = A\left( {x - {r_1}} \right)\left( {x - {r_2}} \right)$. Khi đó $P\left( x \right)$ thoả yêu cầu bài toán.
Giả sử điều ngược lại, $\deg P\left( x \right) > 2$. Khi ấy:
$$P\left( x \right) = A\left( {x - {r_1}} \right)\left( {x - {r_2}} \right)...\left( {x - {r_n}} \right),\,\,{r_1} < {r_2} < ... < {r_n}$$
Ta có: $$P'\left( x \right) = A\left( {x - {r_2}} \right)\left( {x - {r_3}} \right)...\left( {x - {r_{n - 1}}} \right)\left( {x - {r_n}} \right) + A\left( {x - {r_1}} \right)\left( {x - {r_3}} \right)...\left( {x - {r_{n - 1}}} \right)\left( {x - {r_n}} \right)$$
$$ + ... + A\left( {x - {r_1}} \right)\left( {x - {r_2}} \right)...\left( {x - {r_{n - 2}}} \right)\left( {x - {r_n}} \right) + A\left( {x - {r_1}} \right)\left( {x - {r_2}} \right)...\left( {x - {r_{n - 2}}} \right)\left( {x - {r_{n - 1}}} \right)$$
Với $x = \dfrac{{{r_i} + {r_{i + 1}}}}{2},i = \overline {1,n - 1} $, hai số hạng cuối cùng bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu. Vậy tổng của chúng bằng 0.
Các số hạng còn lại bằng tích của $ - A{\left( {\dfrac{{{r_{i + 1}} - {r_i}}}{2}} \right)^2},i = \overline {1,n - 1} $ với tích của $\left( {n - 3} \right)$ thừa số dương.

Như vậy, tổng là một số khác 0, suy ra $P'\left( {\dfrac{{{r_i} + {r_{i + 1}}}}{2}} \right) \ne 0,i = \overline {1,n - 1} $, mâu thuẫn.
Bài toán được giải xong.

[Crystal]

Bài 17:Chứng minh rằng phương trình $P(x)={2^ x}$(Trong đó $P(x)$ là đa thức bậc $n$) không có quá $n+1$ nghiệm

Gọi ${P^{\left( k \right)}}$ là đạo hàm cấp $k$ của $P\left( x \right)$

Ta xét hàm: $$f\left( x \right) = P\left( x \right) - {2^x} \Rightarrow f'\left( x \right) = P'\left( x \right) - {2^x}\ln 2 \Rightarrow ... \Rightarrow {f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {P^{\left( n \right)}}\left( x \right) - {2^x}{\ln ^n}2$$
Do $P\left( x \right)$ là đa thức bậc $n$ nên ${P^{\left( {n + 1} \right)}}\left( x \right) = 0$

Phương trình ${f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {2^x}{\ln ^{n + 1}}2 = 0 \Leftrightarrow {2^x} = 0$, không có nghiệm thực.

Khi đó, áp dụng định lí Rolle, phương trình $f\left( x \right) = 0$ có không quá $n+1$ nghiệm thực.

Bài toán đã được chứng minh.

[Crystal]

Mình là thành viên mới và khôg biết nhiều về dạng toán này nhưg thấy ở đây ssoi nổi quá nên cũng mạo muội đưa lên 1 bài

Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n >3$ và có các nghiệm thục $x_1<x_2<...<x_n$. chúng minh rằng
\[P'(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2})P'(\dfrac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2}) \ne 0\]
@@ Có phải đây là điều mà bạn muốn viết ,nếu không đúng bạn trao đổi với mình

Buồn chán quá đành chém bừa mấy bài

Xét $$P\left( x \right) = a\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {x - {x_i}} \right)} ,\,\,a \ne 0,x \ne {x_i}$$
Khi đó: $$\dfrac{{P'\left( x \right)}}{{P\left( x \right)}} = a\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{x - {x_i}}}} ,\,a \ne 0,x \ne {x_i}\,$$
Nếu $P'\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) = 0$ thì:
$$0 = \dfrac{1}{{\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - {x_3}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - {x_4}}} + ... + \dfrac{1}{{\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - {x_n}}} < 0 + 0 + ... + 0 = 0$$
Vô lí.
Nếu $P'\left( {\dfrac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2}} \right) = 0$ thì:
$$0 = \dfrac{1}{{\dfrac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2} - {x_1}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2} - {x_2}}} + ... + \dfrac{1}{{\dfrac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2} - {x_{n - 2}}}} > 0 + 0 + ... + 0 = 0$$
Vô lí.
Vậy $P'\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)P'\left( {\dfrac{{{x_n} + {x_{n - 1}}}}{2}} \right) \ne 0$

[alex_hoang]

Cảm ơn mọi người cố gắng duy trì nhé
Bài 21:
Có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho đa thức
\[f(x) = 1 + 4x + 4{x^2} + ... + {4^{2n}}(n \ge 2)\]
Là bình phương của một đa thức khác hay không?

[alex_hoang]

Bài 22Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với hệ số thực sao cho $P(-1)$ khác $0$ và$ - \frac{{P'( - 1)}}{{P( - 1)}} \le \frac{n}{2}$.Chứng minh rằng $P(x)$ luôn có ít nhất một nghiệm $x_0$ sao cho $\left| {{x_0}} \right| > 1$

[alex_hoang]

Bài 23
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn điều kiện
$P(0)=0$ và $0\le P’(x)\le P(x)$ \[\forall x \in \left[ {0,1} \right]\]

[Crystal]

Bài 19:. Cho $f: R ---> R$ là hàm số có đạo hàm cấp 3 liên tục có tồn tại hay không số thực a sao cho :$f_{(a)}.f_{(a)}^{'}.f_{(a)}^{''}.f_{(a)}^{'''} \geq 0$

* Nếu mỗi một trong các hàm $f\left( x \right),f'\left( x \right),f''\left( x \right),f'''\left( x \right)$ đổi dấu thì dễ dàng suy ra tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó xảy ra dấu bằng.

* Giả sử bốn hàm trên không đổi dấu, khi đó ta chứng minh $f\left( x \right)$ và $f''\left( x \right)$, $f'\left( x \right)$ và $f'''\left( x \right)$ cùng dấu.

Giả sử $f''\left( x \right) > 0$. Khai triển Taylor $f\left( x \right)$ tại ${x_0} = 0$ đến cấp 2, ta có:
$$f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + \dfrac{{f'\left( 0 \right)x}}{{1!}} + \dfrac{{f''\left( {\theta x} \right){x^2}}}{{2!}} > f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x,\,\left( {\theta \in \left( {0,1} \right)} \right)$$
Nếu $f'\left( 0 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x > 0$ với $x$ đủ lớn

Nếu $f'\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x > 0$ với $x$ đủ nhỏ

Vậy $f\left( x \right) > 0$. Tương tự, nếu $f''\left( x \right) < 0$ cũng có $f\left( x \right) < 0$. Do đó $f\left( x \right)f''\left( x \right) > 0,\forall x$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: $f'\left( x \right)f'''\left( x \right) > 0,\forall x$.

Từ đó suy ra đpcm.

[Crystal]

Bài 22Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với hệ số thực sao cho $P(-1)$ khác $0$ và$ - \dfrac{{P'( - 1)}}{{P( - 1)}} \le \dfrac{n}{2}$.Chứng minh rằng $P(x)$ luôn có ít nhất một nghiệm $x_0$ sao cho $\left| {{x_0}} \right| > 1$

Giả sử ${x_i},i = \overline {1,n} $ là các nghiệm phức của $P\left( x \right)$. Khi đó ta xét với $a \ne 0$:
$$P\left( x \right) = a\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {x - {x_i}} \right)} \Rightarrow \dfrac{{P'\left( x \right)}}{{P\left( x \right)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{x - {x_i}}}} \Rightarrow - \dfrac{{P'\left( { - 1} \right)}}{{P\left( { - 1} \right)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{1 + {x_i}}}} $$
Suy ra:$$\dfrac{{P'\left( { - 1} \right)}}{{P\left( { - 1} \right)}} + \dfrac{n}{2} = \dfrac{n}{2} - \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{1 + {x_i}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{1 + {x_i}}}} \right)} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{{{x_i} - 1}}{{{x_i} + 1}}} \right)} $$
Theo tính chất của số phức: $$\dfrac{{{x_i} - 1}}{{{x_i} + 1}} = \dfrac{{\left( {{x_i} - 1} \right)\left( {\overline {{x_i}} + 1} \right)}}{{{{\left| {{x_i} + 1} \right|}^2}}} \Rightarrow \operatorname{Re} \left( {\dfrac{{{x_i} - 1}}{{{x_i} + 1}}} \right) = \dfrac{{{{\left| {{x_i}} \right|}^2} - 1}}{{{{\left| {{x_i} + 1} \right|}^2}}},\,\,i = \overline {1,n} $$
Mặt khác: $$\dfrac{{P'\left( { - 1} \right)}}{{P\left( { - 1} \right)}} + \dfrac{n}{2} \in R \Rightarrow \dfrac{{P'\left( { - 1} \right)}}{{P\left( { - 1} \right)}} + \dfrac{n}{2} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\dfrac{{{{\left| {{x_i}} \right|}^2} - 1}}{{{{\left| {{x_i} + 1} \right|}^2}}}} \right)} \geqslant 0 \Rightarrow {\left| {{x_i}} \right|^2} \geqslant 1 \Leftrightarrow \left| {{x_i}} \right| \geqslant 1$$
Vậy $P(x)$ luôn có ít nhất một nghiệm $x_0$ sao cho $\left| {{x_0}} \right| \geqslant 1$.
----------------------------------
Chính xác là $\left| {{x_0}} \right| \geqslant 1$

[Crystal]

Những bài chưa được giải quyết.

[1] (post by alex_hoang)

Bài 4: Xác định tất cả các đa thức (có hệ số thực)$P,Q$ và $R$ thỏa mãn phương trình
\[\sqrt {P(x)} - \sqrt {Q(x)} = R(x)\]
Với mọi số thực $x$

Bài 15: Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số các đa thức $P(x)$ bậc $n$ với các hệ số thuộc tập hợp $E={0,1,2,3,4,5,6,7,8}$ và thỏa mãn $P(3)=n$

Bài 16: Đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn các đẳng thức $P(k) = \dfrac{1}{{C_{n + 1}^k}};\forall k = 0,1,2...,n$. Tính $P(n+1)$

Bài 21: Có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho đa thức
\[f(x) = 1 + 4x + 4{x^2} + ... + {4^{2n}}(n \ge 2)\]
Là bình phương của một đa thức khác hay không?
Bài 23: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn điều kiện $P(0)=0$ và $0\le P’(x)\le P(x)$ \[\forall x \in \left[ {0,1} \right]\]

[2] (post by xusinst)

Bài 13: Cho $P\left( x \right)$ là đa thức khác không, $\deg P < 2012$ và không có thừa số chung với ${x^3} - x$. Giả sử ${\left( {\dfrac{{P\left( x \right)}}{{{x^3} - x}}} \right)^{\left( {2009} \right)}} = \dfrac{{Q\left( x \right)}}{{R\left( x \right)}}$, trong đó $Q\left( x \right),\,R\left( x \right)$ là những đa thức nào đó. Chứng minh rằng $\deg Q\left( x \right) \ge 4018$.

[3] (post by tran nguyen quoc cuong)

Bài 10: Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^{2011}+2x^{2010}+....+2010x+2011$ bất khả quy trên tập số hữu tỉ.

[4] (post by anh qua)

Bài 20: Với $f,g \in Z[x]$ , ta nói:$f \equiv g ( mod m)$ nếu: $(f-g)$ có các hệ số là bội của $m$ Cho $n,p \in N^{*}, p$ nguyên tố. Giả sử $f,g,h,r,s \in Z[x]$ sao cho: $rf+sg \equiv 1 ( mod p)$ và $fg \equiv h ( mod p)$.
Chứng minh rằng: Tồn tại $F, G$ sao cho: $F \equiv f ( mod p)$ ; $G \equiv g ( mod p)$ và $FG \equiv h (mod p^n)$

[perfectstrong]

Bài 16: Đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn các đẳng thức $P(k) = \dfrac{1}{{C_{n + 1}^k}};\forall k = 0,1,2...,n$. Tính $P(n+1)$

Bài 21: Có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho đa thức
\[f(x) = 1 + 4x + 4{x^2} + ... + {4^{2n}}(n \ge 2)\]
Là bình phương của một đa thức khác hay không?

Bài 16:
Bài này em làm không chắc lắm.
Đặt \[Q\left( x \right) = P\left( x \right).\left( {n + 1} \right)! -x! \left( {n - x + 1} \right)!\]
Suy ra \[\forall k = \overline {0,n} :Q\left( k \right) = P\left( k \right).\left( {n + 1} \right)! - k!\left( {n - k + 1} \right)! = 0\]
Mà $Q(x)$ có bậc là n+1 nên có tối đa n+1 nghiệm. Theo nhận xét trên thì
\[Q\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - n} \right)\]
\[ \Rightarrow P\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - n} \right) + x!\left( {n - x +1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\]
\[P\left( {n + 1} \right) = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)! + \left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = 2\]
Bài 21:
\[f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 4\left[ {1 + \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) + {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)}^{2n}}} \right] - 3\]
\[ = 4.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)}^{2n + 1}} - 1}}{{\dfrac{{ - 1}}{2} - 1}} - 3 = 4.\dfrac{{\dfrac{1}{{{2^{2n + 1}}}} + 1}}{{\dfrac{3}{2}}} - 3 = 4.\dfrac{{\dfrac{1}{{{2^n}}} + 2}}{3} - 3 \leqslant 4.\dfrac{{\dfrac{1}{{{2^2}}} + 2}}{3} - 3 = 0\]
Do đó, $f(\dfrac{-1}{2})$ không thể là bình phương một đa thức với $n \geq 2$.
Vậy, không tồn tại n thỏa đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-12-2011 - 21:15

[Peter Pan]

Bài 10: nếu nhìn theo 2 số hạng đầu thì :chỉ số+bâc=2012 mà sao 2 số hạng cuối lại là $2010x & 2011$
Góp vui 2 bài:
Bài 24: Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \in \mathbb{Z}$
và $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c} \in \mathbb{Z}$
CMR:$|a|=|b|=|c|$
Bài 25: Cho $\overline{a_0a_1...a_9}$ là 1 số nguyên tố:
Chứng minh đa thức $P(x)=a_0x^{10}+a_1x^9+...+a_9x^{10}$ ko có nghiệm hữu tỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 22-12-2011 - 12:51

[Tham Lang]

Chứng minh rằng, phương trình sau đây có không quá một nghiệm :
$$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + \frac{x^n}{n} = 0$$

[Karl Heinrich Marx]

Bài 4:
Ta có $2R(x)\sqrt{Q(x)}=R^2(x)+Q(x)-P(x)$ Vì nhân tử dạng $x-a$ ở cả 2 vế là số nguyên nên với mỗi nghiệm của $Q(x)$ nó phải là nghiệm bội bậc chẵn, chú ý là với mọi đa thức $Q(x)$ có nghiệm phức $z$ thì nó cũng phải có nghiệm $z$ ngang, do đó suy ra $Q(x)=T^2(x)$ với $T(x) \in R[x]$. Tương tự ta cũng cm đc $P(x)=U^2(x)$ và ta được Đến đây thực sự chẳng bik xác định $R(x)$ như thế nào nữa :|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 22-04-2012 - 12:14

[kunkute]

Tìm tất cả các đa thức P(x) vs hệ số thực thỏa mãn P² (x) -1=4P(x² -4x+1)