Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ . Trong đó $AB=5;BC=6;CD=7;DA=8$.Tính $R,r$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 24-11-2011 - 16:16

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=5;BC=6;CD=7;DA=8$.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$.
Từ đó tổng quát hóa bài toán trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 24-11-2011 - 16:16

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 31-10-2014 - 22:44

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=5;BC=6;CD=7;DA=8$.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$.
Từ đó tổng quát hóa bài toán trên.

Sửa lại đề : $CD=8$ ; $DA=7$ (vì như vậy tứ giác $ABCD$ mới ngoại tiếp được)

 

Ta có :

$BD^2=AB^2+AD^2-2.AB.AD.cosA=74-70cosA=74+70cosC$ (1)

Và : $BD^2=CB^2+CD^2-2.CB.CD.cosC=100-96cosC$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow cosC=\frac{13}{83}\Rightarrow sinC=\frac{\sqrt{6720}}{83}$

$\Rightarrow BD^2=\frac{7052}{83}\Rightarrow BD=\frac{\sqrt{7052}}{\sqrt{83}}\approx 9,2176$

$\Rightarrow R=\frac{BD}{2sinC}=\sqrt{\frac{146329}{6720}}\approx 4,6664$

 

Tương tự tính được $cosD=\frac{13}{43}$ ; $sinD=\frac{\sqrt{1680}}{43}$

Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.Đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ cũng chính là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$.

$sinE=sin(C+D)=sinCcosD+sinDcosC=\frac{39\sqrt{1680}}{3569}$

$\frac{DE}{sinC}=\frac{CE}{sinD}=\frac{CD}{sinE}$

$\Rightarrow DE\approx 17,641040$ ; $CE\approx 17,025660$

$S_{CDE}=\frac{CE.CD.sinC}{2}\approx 67,262117$

$\Rightarrow r=\frac{2S_{CDE}}{CD+DE+CE}\approx 3,1529$

 

Trả lời :

$R\approx 4,6664$ ; $r\approx 3,1529$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-11-2014 - 11:22

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 01-11-2014 - 18:44

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=5;BC=6;CD=7;DA=8$.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$.
Từ đó tổng quát hóa bài toán trên.

Đâu có đường tròn nội tiếp tứ giác đâu bạn . 

Nếu như tứ giác ABCD ngoại tiếp thì $5+7=8+6$ ( vô lý ) 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#4 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 02-11-2014 - 05:09

Sửa lại đề : $CD=8$ ; $DA=7$ (vì như vậy tứ giác $ABCD$ mới ngoại tiếp được)

 

Ta có :

$BD^2=AB^2+AD^2-2.AB.AD.cosA=74-70cosA=74+70cosC$ (1)

Và : $BD^2=CB^2+CD^2-2.CB.CD.cosC=100-96cosC$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow cosC=\frac{13}{83}\Rightarrow sinC=\frac{\sqrt{6720}}{83}$

$\Rightarrow BD^2=\frac{7052}{83}\Rightarrow BD=\frac{\sqrt{7052}}{\sqrt{83}}\approx 9,2176$

$\Rightarrow R=\frac{BD}{2sinC}=\sqrt{\frac{146329}{6720}}\approx 4,6664$

 

Tương tự tính được $cosD=\frac{13}{43}$ ; $sinD=\frac{\sqrt{1680}}{43}$

Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.Đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ cũng chính là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$.

$sinE=sin(C+D)=sinCcosD+sinDcosC=\frac{39\sqrt{1680}}{3569}$

$\frac{DE}{sinC}=\frac{CE}{sinD}=\frac{CD}{sinE}$

$\Rightarrow DE\approx 17,641040$ ; $CE\approx 17,025660$

$S_{CDE}=\frac{CE.CD.sinC}{2}\approx 67,262117$

$\Rightarrow r=\frac{2S_{CDE}}{CD+DE+CE}\approx 3,1529$

 

Trả lời :

$R\approx 4,6664$ ; $r\approx 3,1529$

Chỗ này không ổn cho lắm,bạn vẽ hình lên được không, mình thấy Đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ chưa chắc là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$



#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-11-2014 - 07:05

Chỗ này không ổn cho lắm,bạn vẽ hình lên được không, mình thấy Đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ chưa chắc là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$

Suy luận một chút thì thấy ngay mà !

Gọi $(C_{1})$ là đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ ; $(C_{2})$ là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$.

Giả sử $(C_{1})$ tiếp xúc với $CD,DE,EC$ lần lượt tại $M_{1},N_{1},P_{1}$ và $(C_{2})$ tiếp xúc với $CD$ tại $M_{2}$ ; với $DA$ (cũng chính là với $DE$) tại $N_{2}$ ; với $BC$ (cũng chính là với $EC$) tại $P_{2}$ (còn với $AB$ tại đâu không quan trọng).

Thế thì ta phải có $M_{2}\equiv M_{1}$ ; $N_{2}\equiv N_{1}$ ; $P_{2}\equiv P_{1}$ (vì nếu không như thế thì tam giác $CDE$ có đến $2$ đường tròn nội tiếp khác nhau (!))

Từ đó suy ra $2$ đường tròn $(C_{1})$ và $(C_{2})$ phải trùng nhau.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 02-11-2014 - 07:56

Suy luận một chút thì thấy ngay mà !

Gọi $(C_{1})$ là đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ ; $(C_{2})$ là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$.

Giả sử $(C_{1})$ tiếp xúc với $CD,DE,EC$ lần lượt tại $M_{1},N_{1},P_{1}$ và $(C_{2})$ tiếp xúc với $CD$ tại $M_{2}$ ; với $DA$ (cũng chính là với $DE$) tại $N_{2}$ ; với $BC$ (cũng chính là với $EC$) tại $P_{2}$ (còn với $AB$ tại đâu không quan trọng).

Thế thì ta phải có $M_{2}\equiv M_{1}$ ; $N_{2}\equiv N_{1}$ ; $P_{2}\equiv P_{1}$ (vì nếu không như thế thì tam giác $CDE$ có đến $2$ đường tròn nội tiếp khác nhau (!))

Từ đó suy ra $2$ đường tròn $(C_{1})$ và $(C_{2})$ phải trùng nhau.

Nếu như bạn nói thì $(C_{2})$ là đường tròn bàng tiếp tam giác CDE rồi



#7 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 02-11-2014 - 19:24

Suy luận một chút thì thấy ngay mà !

Gọi $(C_{1})$ là đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ ; $(C_{2})$ là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$.

Giả sử $(C_{1})$ tiếp xúc với $CD,DE,EC$ lần lượt tại $M_{1},N_{1},P_{1}$ và $(C_{2})$ tiếp xúc với $CD$ tại $M_{2}$ ; với $DA$ (cũng chính là với $DE$) tại $N_{2}$ ; với $BC$ (cũng chính là với $EC$) tại $P_{2}$ (còn với $AB$ tại đâu không quan trọng).

Thế thì ta phải có $M_{2}\equiv M_{1}$ ; $N_{2}\equiv N_{1}$ ; $P_{2}\equiv P_{1}$ (vì nếu không như thế thì tam giác $CDE$ có đến $2$ đường tròn nội tiếp khác nhau (!))

Từ đó suy ra $2$ đường tròn $(C_{1})$ và $(C_{2})$ phải trùng nhau.

Bạn xem hình nhé! Mình vẫn thấy nó sao ý :Untitled.png



#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 02-11-2014 - 19:55

Bạn xem hình nhé! Mình vẫn thấy nó sao ý :attachicon.gifUntitled.png

Bạn vẽ hình sai rồi : $AB=5$ ; $CD=8$ ($AB < CD$ chứ !)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#9 phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:những điều mình thấy thú vị

Đã gửi 02-11-2014 - 20:19

Bạn vẽ hình sai rồi : $AB=5$ ; $CD=8$ ($AB < CD$ chứ !)

Ờh, mình không đọc kĩ đề, ngại quá, xin lỗi nhé!Lần này thì chuẩn rồi.



#10 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-11-2014 - 00:00

Bài toán tổng quát:
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=a$; $BC=b$; $CD=\alpha-a$; $DA=\alpha-b$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$.
Giải:
Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a<b$. Gọi $R$, $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tứ giác $ABCD$
Áp dụng định lý $\text{cosin}$ ta có:
\begin{equation} \label{1} \tag{1} BD^2=AB^2+AD^2-2.AB.AD.\cos A=a^2-(\alpha-b)^2+2a(\alpha-b).cos C \end{equation}
\begin{equation} \label{2} \tag{2} BD^2=CB^2+CD^2-2.CB.CD.\cos C=b^2+(\alpha-a)^2-2b(\alpha-a)\cos C \end{equation}
\[\eqref{1}, \eqref{2}\Rightarrow \cos C=\dfrac{\alpha(a-b)}{2ab-\alpha(a+b)}\Rightarrow \sin C=\dfrac{2\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha(a+b)-2ab}\]
$\Rightarrow BD^2=a^2+(\alpha-b)^2+\dfrac{2a\alpha(\alpha-b)(a-b)}{2ab-\alpha(a+b)}\Rightarrow BD=\sqrt{a^2+(\alpha-b)^2+\dfrac{2a\alpha(\alpha-b)(a-b)}{2ab-\alpha(a+b)}}$
$\Rightarrow R=\dfrac{BD}{2\sin C}=\dfrac{\left[\alpha(a+b)-2ab\right]\sqrt{a^2+(\alpha-b)^2+\dfrac{2a\alpha(\alpha-b)(a-b)}{2ab-\alpha(a+b)}}}{4\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}$
 
Tương tự tính được $\cos D=\dfrac{\alpha(\alpha-a-b)}{2ab+\alpha(\alpha-a-b)}$ ; $\sin D=\dfrac{2\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{2ab+\alpha(\alpha-a-b)}$
Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Đường tròn nội tiếp tam giác $CDE$ cũng chính là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$.
$\sin E=\sin(C+D)=\sin C\cos D+\sin D\cos C$
$\Rightarrow \sin E=\dfrac{2\alpha(\alpha-2a)\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\left[2ab+\alpha(\alpha-a-b)\right]\left[\alpha(a+b)-2ab\right]}$
Áp dụng định lý $\sin$ ta có: $$\dfrac{DE}{\sin C}=\dfrac{CE}{\sin D}=\dfrac{CD}{\sin E}$$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} DE=\dfrac{2(\alpha-a)\left[2ab+\alpha(\alpha-a-b)\right]}{2\alpha(\alpha-2a)}\\ CE=\dfrac{2(\alpha-a)\left[\alpha(a+b)-2ab\right]}{2\alpha(\alpha-2a)}\end{matrix}\right.$
 
Theo các công thức diện tích ta lại có:
\begin{eqnarray} &\phantom{\Rightarrow} & 2S_{CDE}=DE.CD.\sin D=\dfrac{2(\alpha-a)^2\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha(\alpha-2a)} \nonumber\\ &\Rightarrow & r=\dfrac{2S_{CDE}}{CD+DE+CE}=\dfrac{\dfrac{2(\alpha-a)^2\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha(\alpha-2a)}}{\alpha-a+\dfrac{2(\alpha-a)\left[2ab+\alpha(\alpha-a-b)\right]}{2\alpha(\alpha-2a)}+\dfrac{2(\alpha-a)\left[\alpha(a+b)-2ab\right]}{2\alpha(\alpha-2a)}} \nonumber \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \Rightarrow r&=&\dfrac{\dfrac{2(\alpha-a)\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha(\alpha-2a)}}{1+\dfrac{2ab+\alpha(\alpha-a-b)}{\alpha(\alpha-2a)}+\dfrac{\alpha(a+b)-2ab}{\alpha(\alpha-2a)}} \nonumber \\ &=& \dfrac{2(\alpha-a)\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha(\alpha-2a)+2ab+\alpha(\alpha-a-b)+\alpha(a+b)-2ab} \nonumber \\ &=& \dfrac{(\alpha-a)\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha(\alpha-a)} \nonumber \\ &=& \dfrac{\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha} \nonumber \end{eqnarray}
 
Vậy ta có:  $\left\{\begin{matrix}R=\dfrac{BD}{2\sin C}=\dfrac{\left[\alpha(a+b)-2ab\right]\sqrt{a^2+(\alpha-b)^2+\dfrac{2a\alpha(\alpha-b)(a-b)}{2ab-\alpha(a+b)}}}{4\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}} \\ r= \dfrac{\sqrt{a^2b^2+ab\alpha(\alpha-a-b)}}{\alpha}\end{matrix}\right.$

 


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh