Chủ đề này có 5 trả lời

[macdangdung]

Bài 1
cho dãy (Un) (n=0,1,2,...) thỏa mãn
$u_{0}=1$
$u_{n}=\dfrac{-1}{3+u_{n-1}}$
cmr: (Un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2
cho dãy (Un) (n=1,2,...)
$u_{1}=\dfrac{1}{3}$
$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^2}{2} - 1$
tìm giới hạn của Un


các tiền bối giúp em với ạ!

MOD: Bạn nên gõ tiêu đề rõ ràng bằng latex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-11-2011 - 16:19

[Crystal]

Bài 1
cho dãy (Un) (n=0,1,2,...) thỏa mãn
$u_{0}=1$
$u_{n}=\dfrac{-1}{3+u_{n-1}}$
cmr: (Un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2
cho dãy (Un) (n=1,2,...)
$u_{1}=\dfrac{1}{3}$
$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^2}{2} - 1$
tìm giới hạn của Un

Bài 1:

Đặt $\alpha = \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \alpha = - \dfrac{1}{{3 + \alpha }}$, khi đó:
$${u_n} - \alpha = - \dfrac{1}{{3 + {u_{n - 1}}}} + \dfrac{1}{{3 + \alpha }} = \dfrac{{{u_{n - 1}} - \alpha }}{{\left( {3 + {u_{n - 1}}} \right)\left( {3 + \alpha } \right)}}$$
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: ${u_n} > - 1,\forall n \in N$

Khi đó: $$\left( {3 + {u_{n - 1}}} \right)\left( {3 + \alpha } \right) > 2\left( {3 + \alpha } \right) = 3 + \sqrt 5 > 5$$
Suy ra: $$\left| {{u_{n + 1}} - \alpha } \right| < \dfrac{1}{5}\left| {{u_n} - \alpha } \right|,\forall n \in N \Rightarrow 0 < \left| {{u_n} - \alpha } \right| < \dfrac{1}{{{5^n}}}\left| {{u_0} - \alpha } \right|$$
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{{{5^n}}}\left| {{u_0} - \alpha } \right| = 0$. Theo nguyên lí kẹp thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n} - \alpha } \right| = 0$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \alpha = \boxed{\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}$.

Bài 2:

Nhận xét: Giải phương trình $x = \dfrac{{{x^2}}}{2} - 1$, dự đoán giới hạn là $L = 1 - \sqrt 3 $.

Ta có: $${u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 = \dfrac{{u_n^2}}{2} - 1 - 1 + \sqrt 3 = \dfrac{{\left( {{u_n} - \sqrt 3 + 1} \right)\left( {{u_n} + \sqrt 3 - 1} \right)}}{2}$$
$$ \Rightarrow \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| = \dfrac{{\left| {{u_n} - \sqrt 3 + 1} \right|\left| {{u_n} + \sqrt 3 - 1} \right|}}{2}$$
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: $${u_n} \in \left( { - 1,0} \right),\forall n \geqslant 2 \Rightarrow \left| {{u_n} - \sqrt 3 + 1} \right| < \sqrt 3 \Rightarrow \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {{u_n} - 1 + \sqrt 3 } \right|$$
Suy ra: $$0 < \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| < {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\left| {{u_1} - 1 + \sqrt 3 } \right|$$
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\left| {{u_1} - 1 + \sqrt 3 } \right| = 0$, theo nguyên lí kẹp thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| = 0$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \boxed{1 - \sqrt 3 }$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 27-11-2011 - 16:40

[Didier]

$u_{n} -\alpha$ có dương đâu anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 27-11-2011 - 18:20

[Crystal]

$u_{n} -\alpha$ có dương đâu anh

Là trị tuyệt đối mà

[Didier]

Là trị tuyệt đối mà

Nhưng em nghĩ nếu $u_{n}-\alpha<0$ thì trị tuyệt đối nó sẽ không thể lớn hơn vì khi âm cho giá trị tuyệt đối vào nó sẽ đổi chiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 27-11-2011 - 19:07

[Crystal]

Nhưng em nghĩ nếu $u_{n}-\alpha<0$ thì trị tuyệt đối nó sẽ không thể lớn hơn vì khi âm cho giá trị tuyệt đối vào nó sẽ đổi chiều

Trị tuyệt đối của hiệu hai số luôn lớn hơn 0 nếu hai số đó khác nhau. Bạn thắc mắc cái này ak. Tâm trạng mình không được tốt, bạn cứ hỏi mình xin nghe thôi.