Bài 1
cho dãy (Un) (n=0,1,2,...) thỏa mãn
$u_{0}=1$
$u_{n}=\dfrac{-1}{3+u_{n-1}}$
cmr: (Un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2
cho dãy (Un) (n=1,2,...)
$u_{1}=\dfrac{1}{3}$
$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^2}{2} - 1$
tìm giới hạn của Un
Bài 1:Đặt $\alpha = \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \alpha = - \dfrac{1}{{3 + \alpha }}$, khi đó:
$${u_n} - \alpha = - \dfrac{1}{{3 + {u_{n - 1}}}} + \dfrac{1}{{3 + \alpha }} = \dfrac{{{u_{n - 1}} - \alpha }}{{\left( {3 + {u_{n - 1}}} \right)\left( {3 + \alpha } \right)}}$$
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: ${u_n} > - 1,\forall n \in N$
Khi đó: $$\left( {3 + {u_{n - 1}}} \right)\left( {3 + \alpha } \right) > 2\left( {3 + \alpha } \right) = 3 + \sqrt 5 > 5$$
Suy ra: $$\left| {{u_{n + 1}} - \alpha } \right| < \dfrac{1}{5}\left| {{u_n} - \alpha } \right|,\forall n \in N \Rightarrow 0 < \left| {{u_n} - \alpha } \right| < \dfrac{1}{{{5^n}}}\left| {{u_0} - \alpha } \right|$$
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{{{5^n}}}\left| {{u_0} - \alpha } \right| = 0$. Theo nguyên lí kẹp thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_n} - \alpha } \right| = 0$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \alpha = \boxed{\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}$.
Bài 2:Nhận xét: Giải phương trình $x = \dfrac{{{x^2}}}{2} - 1$, dự đoán giới hạn là $L = 1 - \sqrt 3 $.
Ta có: $${u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 = \dfrac{{u_n^2}}{2} - 1 - 1 + \sqrt 3 = \dfrac{{\left( {{u_n} - \sqrt 3 + 1} \right)\left( {{u_n} + \sqrt 3 - 1} \right)}}{2}$$
$$ \Rightarrow \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| = \dfrac{{\left| {{u_n} - \sqrt 3 + 1} \right|\left| {{u_n} + \sqrt 3 - 1} \right|}}{2}$$
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: $${u_n} \in \left( { - 1,0} \right),\forall n \geqslant 2 \Rightarrow \left| {{u_n} - \sqrt 3 + 1} \right| < \sqrt 3 \Rightarrow \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {{u_n} - 1 + \sqrt 3 } \right|$$
Suy ra: $$0 < \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| < {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\left| {{u_1} - 1 + \sqrt 3 } \right|$$
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\left| {{u_1} - 1 + \sqrt 3 } \right| = 0$, theo nguyên lí kẹp thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{u_{n + 1}} - 1 + \sqrt 3 } \right| = 0$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \boxed{1 - \sqrt 3 }$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 27-11-2011 - 16:40