Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm)Giải phương trình trên tập số thực:
1. $$\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\dfrac{4}{3}x-2$$
2. $$8x^3+24x^2+6x-10-3\sqrt{6}=0$$
Câu 2: (4 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên $n \geq 3$ sao cho:
$2^{2000}$ chia hết cho $1+C_n^1+C_n^2+C_n^3$
Câu 3: (4 điểm)
Vẽ bên ngoài $\vartriangle ABC$ các hình chữ nhật BCNM,ACPQ,ABLK sao cho $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{CP}{CA}$. Gọi A',B',C' tương ứng là trung điểm của KQ,LM,NP.
a. Chứng minh: AA',BB',CC' đồng quy tại M
b. CM: $$\max \left( {\dfrac{2MA}{BC};\dfrac{3MB}{CA};\dfrac{4MC}{AB}} \right) \geq \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$
Câu 4: (4 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$
Câu 5: (4 điểm)
Xét tập hợp A gồm các số 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, trong đó, mỗi số lặp lại vô hạn lần. Chứng minh với mọi cách chia A thành 2 tập con sao cho trong đó, một tập con có 3 số hạng là a,b,c thỏa mãn $a+b \equiv c(\bmod 67)$
=======================HẾT=========================
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-11-2011 - 16:32