Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30/4 lớp 10 2011-2012

THPT chuyên Lê Quý Đôn Tp Đà Nẵng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 29-11-2011 - 21:58

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)
Giải phương trình trên tập số thực:
1. $$\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\dfrac{4}{3}x-2$$
2. $$8x^3+24x^2+6x-10-3\sqrt{6}=0$$

Câu 2: (4 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên $n \geq 3$ sao cho:
$2^{2000}$ chia hết cho $1+C_n^1+C_n^2+C_n^3$

Câu 3: (4 điểm)
Vẽ bên ngoài $\vartriangle ABC$ các hình chữ nhật BCNM,ACPQ,ABLK sao cho $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{CP}{CA}$. Gọi A',B',C' tương ứng là trung điểm của KQ,LM,NP.
a. Chứng minh: AA',BB',CC' đồng quy tại M
b. CM: $$\max \left( {\dfrac{2MA}{BC};\dfrac{3MB}{CA};\dfrac{4MC}{AB}} \right) \geq \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$

Câu 4: (4 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$

Câu 5: (4 điểm)
Xét tập hợp A gồm các số 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, trong đó, mỗi số lặp lại vô hạn lần. Chứng minh với mọi cách chia A thành 2 tập con sao cho trong đó, một tập con có 3 số hạng là a,b,c thỏa mãn $a+b \equiv c(\bmod 67)$

=======================HẾT=========================

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-11-2011 - 16:32

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-11-2011 - 09:43

Ngó sơ thì làm được 2 bài :1 ; 4 . Hân làm được những bài nào thế :)

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4421 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 30-11-2011 - 16:33

Đề này khá khó. Em chỉ làm được bài 1 với bài 2. Còn bài 5 thì mới tranh luận với thầy ra đề, mà hình như đề phải sửa lại như trên.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-11-2011 - 22:09

Bài 4 này mạnh hơn rất nhiều lần bài Toán Apmo 2004 :

$ (a^2+2)(b^2 +2)( c^2 +2) \ge 9(ab + bc + ca)$

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 01-12-2011 - 18:06

Bài 4 này mạnh hơn rất nhiều lần bài Toán Apmo 2004 :

$ (a^2+2)(b^2 +2)( c^2 +2) \ge 9(ab + bc + ca)$

BĐT$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9(ab+bc+ca)$
Theo AM-GM ta có
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(ab+bc+ca)$
$2(a^{2}b^{2}+1)+2(b^{2}c^{2}+1)+2(c^{2}a^{2}+1)\geq 4(ab+bc+ca)$
Áp dụng BĐT Schur và AM-GM ta có:
$a^{2}b^{2}c^{2}+2\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \dfrac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}=2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}+2+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$
Cộng các bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 01-12-2011 - 18:07


#6 DBSK

DBSK

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN

Đã gửi 02-12-2011 - 21:17

Bài số học cũng khá hay!
Ta có
$ 6.2^{2000} \vdots (n+1)(n^2-n+6)$
Do đó ta xét hai trường hợp :
+)$n+1= 2^x;n^2-n+6=3.2^y$
Và +)$n^2-n+6= 2^x;n+1=3.2^y$
Dau đó đưa về PT pell là ra!

#7 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 03-12-2011 - 10:17

Bài số học cũng khá hay!
Ta có
$ 6.2^{2000} \vdots (n+1)(n^2-n+6)$
Do đó ta xét hai trường hợp :
+)$n+1= 2^x;n^2-n+6=3.2^y$
Và +)$n^2-n+6= 2^x;n+1=3.2^y$
Dau đó đưa về PT pell là ra!

Không cần dùng đến Pell.
Để ý thấy $(n+1,n^2-n+6)=d$ thì d là ước của 8. Do đó số mũ của 2 trong n+1 phải $\leq 3$.
Đề khá hay, đặc biệt là câu hình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 03-12-2011 - 10:18

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 03-12-2011 - 13:04

Câu 1.
$$\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\dfrac{4}{3}x-2$$

Giải. Đặt $\sqrt[3]{81x-8}=3y-2$, ta có hệ đối xứng
$$\left\{\begin{matrix} (3x-2)^3=81y-8 & \\ (3y-2)^3=81x-8& \end{matrix}\right.$$

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#9 DBSK

DBSK

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN

Đã gửi 04-12-2011 - 20:07

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu 4: (4 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$


Bài này dùng BDT phụ sau kết hợp với AM-GM 2 số:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ac)$

#10 phamchungminhhuy

phamchungminhhuy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2013 - 14:13

câu 1 

2)

pt <=> 8(x+1)($x^{2}+2x-\frac{1}{2}$) - 6(x+1+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$)

    <=>8(x+1)(x+1+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$)(x+1-$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$) -6(x+1$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$)=0

từ đây dễ dàng giải ra bài toán  :namtay !!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamchungminhhuy: 22-09-2013 - 14:17





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh