Chủ đề này có 2 trả lời

[E. Galois]

Trong THTT có bài toán sau:

Một đoàn tàu có 1000 ghế ngồi. Các ghế ngồi đều được đánh số trùng với số vé hành khách. Người mang vé số 1 lên tàu và anh ta ngồi không đúng ghế của mình.
Các hành khách khác lần lượt lên tàu theo thứ tự số vé. Nếu ghế của mình chưa có ai ngồi, họ sẽ ngồi ghế của mình; nếu không, họ ngồi vào ghế bất kì còn trống.

Hỏi: Khi hành khách thứ 1000 lên tàu, anh ta sẽ có thể ngồi vào những ghế nào?

Đáp án của câu hỏi là: anh ta có thể ngồi ở ghế số 1000 hoặc ghế số 1.

Còn câu hỏi của mình là: Hãy tính xác suất anh ta được ngồi vào ghế số 1

[hxthanh]

Bài toán này rất hay!
Ở đây mình xin được trình bày lời giải bằng phương pháp $\text{TRUY HỒI }\to \text{ QUY NẠP}$
Gọi :
$E_n$ là số tất cả các cách ngồi trong trường hợp có $n$ người và $n$ ghế thoả mãn yêu cầu đề bài
($E_n$ là số phần tử của không gian mẫu)
$S_n$ là số cách ngồi như trên mà người thứ $n$ được ngồi vào ghế số 1
__________
Trường hợp $n=2$, dễ thấy người thứ 2 chỉ có một lựa chọn duy nhất là ghế số $1$.
Do đó:$$E_2=S_2=1\;\;(1)$$
Trường hợp $n\ge 3$
- Người thứ nhất lên tàu đã không ngồi ghế số $1$, tiếp theo lần lượt người thứ 2, thứ 3,... lên tàu.
- Một người mất ghế sẽ có hai tình huống, một là tiếp tục ngồi sai ghế khác số $1$, hai là ngồi đúng vào ghế số $1$. Trường hợp người đó ngồi đúng ghế số $1$ thì kể từ người sau đó cho đến người thứ $n$ sẽ ngồi đúng chỗ của mình.
- Như vậy thì người cuối cùng chỉ có 2 khả năng xảy ra: một là ngồi ghế của mình, hai là ngồi ghế số $1$
- Trường hợp người đầu tiên ngồi đúng vào ghế số $n$ thì người thứ $n$ chỉ còn ghế số $1$ để ngồi
- Trong tất cả các trường hợp khác thì khả năng người thứ $n$ ngồi ghế số $1$ và số $n$ là như nhau.
- Từ đó suy ra: $$E_n=2(S_n-1)+1=2S_n-1\;\;\;(2)$$
Mặt khác, từ số cách $E_{n-1}$ ta có được số cách $E_n$ như sau:
- Xếp thêm 1 ghế số $n$ và cho người thứ $n$ ngồi vào (sau khi $(n-1)$ người đã ngồi vào $(n-1)$ ghế), ta được $E_{n-1}$ cách.
- Người thứ $(n-1)$ thay vì chỉ được ngồi vị số $1$ và số $(n-1)$ bây giờ lại được lựa chọn thêm ghế số $n$, ta được thêm $E_{n-1}$ cách.
- Người thứ nhất được thêm 1 cách chọn ngồi sai là vị trí số $n$, khi đó người thứ $n$ ngồi vị trí số $1$ còn lại đều ngồi đúng vị trí, ta được thêm 1 cách.
Từ đó suy ra: $$E_n=2E_{n-1}+1\;\;\;(3)$$
- Từ (1), (2) và (3) ta dễ dàng tính được:
$$\boxed{E_n=2^{n-1}-1}\;\;\text{ và }\;\boxed{S_n=2^{n-2}}\;\;(n \ge 2)$$
__________________________________________
Xác suất cần tính là:$$P_{1000}=\dfrac{2^{998}}{2^{999}-1}\;\approx 0.5$$

[hxthanh]

P/s: Mặc dù kết quả không sai, nhưng có điều gì đó không được "minh bạch" cho lắm trong lập luận của lời giải.
Khuyến khích các bạn tìm lời giải rõ ràng và "minh bạch" hơn!